Номер 565, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

565. Запишите основное тригонометрическое тождество.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество — это фундаментальное соотношение, которое связывает тригонометрические функции синус и косинус одного и того же угла. Оно утверждает, что для любого угла $\alpha$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом: $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$

Доказательство и объяснение:

Данное тождество является прямым следствием теоремы Пифагора применительно к единичной окружности.

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной (декартовой) системе координат. Центр окружности находится в начале координат $O(0, 0)$, а её радиус $R$ равен 1.

Возьмем на окружности произвольную точку $P$ с координатами $(x, y)$. Соединим эту точку с центром окружности, получив радиус $OP$. Угол, который этот радиус образует с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$), обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций через единичную окружность:
Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе (координате $x$) точки $P$: $ \cos\alpha = x $.
Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате $y$) точки $P$: $ \sin\alpha = y $.

Если из точки $P$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут отрезки с длинами, равными абсолютным значениям координат $|x|$ и $|y|$, а гипотенузой будет радиус окружности $OP$, длина которого равна 1.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$ x^2 + y^2 = R^2 $$

Теперь подставим в это равенство наши значения: $x = \cos\alpha$, $y = \sin\alpha$ и $R = 1$. $$ (\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1^2 $$

Используя стандартное сокращенное написание $(\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$ и $(\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$, и поменяв слагаемые местами для традиционного вида, получаем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$ Это равенство выполняется для любого угла $\alpha$, так как точка $P$ была выбрана на окружности произвольно.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.