Номер 560, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

560. a) $ \sin 3 $ или $ \sin \pi $;

б) $ \cos 4 $ или $ \cos 5 $;

в) $ \sin 1 $ или $ \sin (-1) $;

г) $ \cos (-2) $ или $ \cos 2 $?

а) sin 3 или sin π

Для сравнения значений $ \sin 3 $ и $ \sin \pi $ рассмотрим их аргументы, которые даны в радианах. Мы знаем, что $ \sin \pi = 0 $. Чтобы оценить $ \sin 3 $, определим положение угла в 3 радиана на единичной окружности. Используя приближение $ \pi \approx 3.14159 $, получаем $ \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. Таким образом, $ \frac{\pi}{2} < 3 < \pi $, что означает, что угол 3 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус принимает положительные значения, то есть $ \sin 3 > 0 $. Сравнивая положительное число $ \sin 3 $ и ноль, заключаем, что $ \sin 3 > \sin \pi $. Также можно отметить, что на промежутке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ функция синуса убывает, и так как $ 3 < \pi $, то $ \sin 3 > \sin \pi $.

Ответ: $ \sin 3 > \sin \pi $.

б) cos 4 или cos 5

Чтобы сравнить $ \cos 4 $ и $ \cos 5 $, определим, в каких координатных четвертях находятся углы 4 и 5 радиан. Используя приближения $ \pi \approx 3.14 $, $ \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $ и $ 2\pi \approx 6.28 $, мы видим, что $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Следовательно, угол 4 радиана находится в третьей четверти, где косинус отрицателен: $ \cos 4 < 0 $. Для угла 5 радиан получаем $ \frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi $. Угол 5 радиан находится в четвертой четверти, где косинус положителен: $ \cos 5 > 0 $. Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $ \cos 5 > \cos 4 $. Этот же результат можно получить, рассмотрев функцию $ y = \cos x $ на промежутке $ [\pi, 2\pi] $, где она возрастает. Так как $ 4 < 5 $, то и $ \cos 4 < \cos 5 $.

Ответ: $ \cos 4 < \cos 5 $.

в) sin 1 или sin(-1)

Для сравнения $ \sin 1 $ и $ \sin(-1) $ воспользуемся свойством нечетности функции синуса: $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Применив это свойство, получаем $ \sin(-1) = -\sin(1) $. Задача сводится к сравнению $ \sin 1 $ и $ -\sin 1 $. Определим знак $ \sin 1 $. Аргумент 1 (радиан) находится в первой координатной четверти, поскольку $ 0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57 $. В первой четверти синус положителен, значит $ \sin 1 > 0 $. Следовательно, $ -\sin 1 < 0 $. Сравнивая положительное число $ \sin 1 $ и отрицательное $ -\sin 1 $, получаем $ \sin 1 > -\sin 1 $, что равносильно $ \sin 1 > \sin(-1) $.

Ответ: $ \sin 1 > \sin(-1) $.

г) cos(-2) или cos 2?

Чтобы сравнить $ \cos(-2) $ и $ \cos 2 $, воспользуемся свойством четности функции косинуса: $ \cos(-x) = \cos(x) $ для любого $ x $. Применив это свойство для $ x=2 $, мы немедленно получаем равенство: $ \cos(-2) = \cos 2 $. Таким образом, сравниваемые величины равны.

Ответ: $ \cos(-2) = \cos 2 $.