Номер 559, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Что больше (559—560):

559. a) $\sin 40^\circ$ или $\sin \frac{\pi}{4}$;

б) $\cos \frac{\pi}{3}$ или $\cos 60^\circ$;

в) $\sin 120^\circ$ или $\sin 130^\circ$;

г) $\cos \frac{3\pi}{4}$ или $\cos \pi$;

д) $\sin 300^\circ$ или $\sin 130^\circ$;

е) $\cos \frac{3\pi}{4}$ или $\cos \frac{\pi}{2}$;

ж) $\sin(-300^\circ)$ или $\cos 120^\circ$;

з) $\cos \frac{13\pi}{4}$ или $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$?

а) Сравним $\sin 40^\circ$ и $\sin \frac{\pi}{4}$.

Сначала переведем радианы в градусы, чтобы работать с одной единицей измерения. Мы знаем, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$.

$\frac{\pi}{4} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sin 40^\circ$ и $\sin 45^\circ$. Оба угла, $40^\circ$ и $45^\circ$, находятся в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). В этой четверти функция синус является возрастающей, то есть большему углу соответствует большее значение синуса.

Поскольку $40^\circ < 45^\circ$, то и $\sin 40^\circ < \sin 45^\circ$.

Ответ: $\sin 40^\circ < \sin \frac{\pi}{4}$.

б) Сравним $\cos \frac{\pi}{3}$ и $\cos 60^\circ$.

Переведем радианы в градусы:

$\frac{\pi}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Таким образом, мы сравниваем $\cos 60^\circ$ и $\cos 60^\circ$. Эти значения равны.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ$.

в) Сравним $\sin 120^\circ$ и $\sin 130^\circ$.

Оба угла, $120^\circ$ и $130^\circ$, находятся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция синус является убывающей. Это значит, что большему углу соответствует меньшее значение синуса.

Поскольку $120^\circ < 130^\circ$, то $\sin 120^\circ > \sin 130^\circ$.

Другой способ: можно использовать формулы приведения. $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$.

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.

$\sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ$.

Теперь сравниваем $\sin 60^\circ$ и $\sin 50^\circ$. В первой четверти синус возрастает, поэтому $\sin 60^\circ > \sin 50^\circ$.

Ответ: $\sin 120^\circ > \sin 130^\circ$.

г) Сравним $\cos \frac{3\pi}{4}$ и $\cos \pi$.

Переведем радианы в градусы:

$\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$.

$\pi = 180^\circ$.

Сравниваем $\cos 135^\circ$ и $\cos 180^\circ$. Углы $135^\circ$ и $180^\circ$ находятся в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$, где функция косинус убывает. Следовательно, большему углу соответствует меньшее значение косинуса.

Поскольку $135^\circ < 180^\circ$, то $\cos 135^\circ > \cos 180^\circ$.

Другой способ: вычислим значения.

$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\cos \pi = -1$.

Сравниваем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$. Очевидно, что $-0.707 > -1$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi$.

д) Сравним $\sin 300^\circ$ и $\sin 130^\circ$.

Определим знаки синусов. Угол $130^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен ($\sin 130^\circ > 0$).

Угол $300^\circ$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен ($\sin 300^\circ < 0$).

Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $\sin 130^\circ > \sin 300^\circ$.

Ответ: $\sin 130^\circ > \sin 300^\circ$.

е) Сравним $\cos \frac{3\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{2}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ (или $135^\circ$) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. $\cos \frac{3\pi}{4} < 0$.

Значение $\cos \frac{\pi}{2}$ (или $\cos 90^\circ$) равно $0$.

Любое отрицательное число меньше нуля, поэтому $\cos \frac{3\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{2}$.

ж) Сравним $\sin(-300^\circ)$ и $\cos 120^\circ$.

Упростим каждое выражение. Используем свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ и формулу приведения $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(-300^\circ) = -\sin(300^\circ) = -\sin(360^\circ - 60^\circ) = -(-\sin 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Альтернативно: $\sin(-300^\circ) = \sin(-300^\circ + 360^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь для косинуса, используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Сравниваем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$. Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: $\sin(-300^\circ) > \cos 120^\circ$.

з) Сравним $\cos \frac{13\pi}{4}$ и $\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Упростим каждое выражение. Период косинуса равен $2\pi$.

$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.

$\cos \frac{13\pi}{4} = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4}$.

Угол $\frac{5\pi}{4}$ находится в третьей четверти. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для синуса используем свойство нечетности:

$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

Сравниваем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-1$. Так как $\sqrt{2} < 2$, то $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$, а значит $-\frac{\sqrt{2}}{2} > -1$.

Ответ: $\cos \frac{13\pi}{4} > \sin(-\frac{\pi}{2})$.