Номер 555, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

555. Исследуем.

Если отмечать на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна $1, 2, 3, 4, \dots$, могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?

Для того чтобы две точки на единичной окружности совпали, разность их углов, выраженных в радианах, должна быть равна целому числу полных оборотов. Полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Таким образом, разность углов должна быть равна $2\pi k$ для некоторого целого числа $k$.

Предположим, что две точки, соответствующие углам в $m$ и $n$ радиан, могут совпасть. Пусть $m$ и $n$ — это различные натуральные числа из последовательности 1, 2, 3, 4, ... Для определенности, пусть $n > m$.

Если точки совпадают, то должно выполняться равенство:

$n - m = 2\pi k$

где $k$ — некоторое натуральное число (так как $n > m$, разность $n-m$ положительна, следовательно, $k$ тоже должно быть положительным целым числом).

Разность двух натуральных чисел $n$ и $m$ также является натуральным числом. Обозначим эту разность $d = n - m$. Тогда наше равенство принимает вид:

$d = 2\pi k$

Выразим из этого уравнения число $\pi$:

$\pi = \frac{d}{2k}$

В этом выражении $d$ и $k$ — натуральные числа. Следовательно, дробь $\frac{d}{2k}$ является отношением двух целых чисел, то есть представляет собой рациональное число.

Однако известно, что число $\pi$ является иррациональным. Иррациональное число по определению не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Мы пришли к противоречию: иррациональное число $\pi$ оказалось равным рациональному числу $\frac{d}{2k}$.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение о том, что две точки могут совпасть, было неверным.

Ответ: Нет, никакие из этих точек совпасть не могут.