Номер 550, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

550. На миллиметровой бумаге постройте систему координат с единичным отрезком 10 см. Постройте окружность с центром в начале координат, проходящую через точку (1; 0). Найдите приближённо (с точностью до сотых):

a) $ \sin 30^\circ $;

б) $ \cos 60^\circ $;

в) $ \sin 150^\circ $;

г) $ \cos 150^\circ $;

д) $ \sin 190^\circ $;

е) $ \cos 250^\circ $;

ж) $ \sin 250^\circ $;

з) $ \cos 300^\circ $;

и) $ \sin 300^\circ $.

Для решения задачи построим на миллиметровой бумаге прямоугольную систему координат $Oxy$. За единичный отрезок примем 10 см. Построим окружность с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$ (на бумаге это будет 10 см). Такая окружность называется единичной. Точка $(1; 0)$ лежит на этой окружности.

По определению, синус угла $\alpha$ есть ордината (координата $y$), а косинус угла $\alpha$ — абсцисса (координата $x$) точки $P(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат.

Чтобы найти значения тригонометрических функций, мы откладываем соответствующий угол $\alpha$ от положительного направления оси $Ox$ (против часовой стрелки) с помощью транспортира. Затем отмечаем точку $P$ пересечения стороны угла с окружностью. Измерив ее координаты $x$ и $y$ в сантиметрах и разделив на 10 (длину единичного отрезка в см), мы получаем приближенные значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$. Точность измерения до миллиметра на бумаге позволяет получить точность до сотых в ответе ($1 \text{ мм} = 0.1 \text{ см}$, что соответствует $0.01$ единицы).

а) $\sin 30^\circ$

Отложим от положительного направления оси $Ox$ угол, равный $30^\circ$. Точка $P_1$, соответствующая этому углу, лежит в I координатной четверти. Ее ордината $y_1$ равна $\sin 30^\circ$. Измерив на миллиметровой бумаге расстояние от точки $P_1$ до оси $Ox$, получим 50 мм, или 5 см. Так как единичный отрезок равен 10 см, то $\sin 30^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

б) $\cos 60^\circ$

Отложим угол в $60^\circ$. Соответствующая точка $P_2$ лежит в I четверти. Ее абсцисса $x_2$ равна $\cos 60^\circ$. Измерив расстояние от точки $P_2$ до оси $Oy$, получим 5 см. Таким образом, $\cos 60^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

в) $\sin 150^\circ$

Угол $150^\circ$ находится во II четверти. Соответствующая точка $P_3$ имеет положительную ординату. $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$. Поэтому ордината точки $P_3$ равна ординате точки $P_1$ (для угла $30^\circ$). Измерение дает 5 см. Следовательно, $\sin 150^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

г) $\cos 150^\circ$

Точка $P_3$ для угла $150^\circ$ находится во II четверти, поэтому ее абсцисса отрицательна. Измерив расстояние от $P_3$ до оси $Oy$, получим примерно 8.7 см (или 87 мм). Так как точка находится слева от оси $Oy$, координата отрицательна. $\cos 150^\circ = -\frac{8.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.87$. (Точное значение: $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$).

Ответ: $-0.87$

д) $\sin 190^\circ$

Угол $190^\circ$ находится в III четверти ($190^\circ = 180^\circ + 10^\circ$). Точка $P_4$ лежит ниже оси $Ox$, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_4$ до оси $Ox$, получим примерно 1.7 см (17 мм). Таким образом, $\sin 190^\circ \approx -\frac{1.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.17$. (Точное значение: $\sin 190^\circ = -\sin 10^\circ \approx -0.1736$).

Ответ: $-0.17$

е) $\cos 250^\circ$

Угол $250^\circ$ находится в III четверти ($250^\circ = 180^\circ + 70^\circ$). Точка $P_5$ лежит слева от оси $Oy$, ее абсцисса отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_5$ до оси $Oy$, получим примерно 3.4 см (34 мм). Таким образом, $\cos 250^\circ \approx -\frac{3.4 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.34$. (Точное значение: $\cos 250^\circ = -\cos 70^\circ \approx -0.3420$).

Ответ: $-0.34$

ж) $\sin 250^\circ$

Точка $P_5$ для угла $250^\circ$ находится в III четверти, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_5$ до оси $Ox$, получим примерно 9.4 см (94 мм). Следовательно, $\sin 250^\circ \approx -\frac{9.4 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.94$. (Точное значение: $\sin 250^\circ = -\sin 70^\circ \approx -0.9397$).

Ответ: $-0.94$

з) $\cos 300^\circ$

Угол $300^\circ$ находится в IV четверти ($300^\circ = 360^\circ - 60^\circ$). Точка $P_6$ лежит справа от оси $Oy$, ее абсцисса положительна. Абсцисса точки $P_6$ совпадает с абсциссой точки $P_2$ (для угла $60^\circ$). Измерение дает 5 см. Таким образом, $\cos 300^\circ = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.5$. С точностью до сотых это 0.50.

Ответ: $0.50$

и) $\sin 300^\circ$

Точка $P_6$ для угла $300^\circ$ находится в IV четверти, ее ордината отрицательна. Измерив расстояние от точки $P_6$ до оси $Ox$, получим примерно 8.7 см (87 мм). Таким образом, $\sin 300^\circ \approx -\frac{8.7 \text{ см}}{10 \text{ см}} = -0.87$. (Точное значение: $\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$).

Ответ: $-0.87$