Номер 544, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

544. Для каких углов $\alpha$:

а) $\sin \alpha = 0$;

б) $\cos \alpha = 0$?

а)

Чтобы найти углы $ \alpha $, для которых $ \sin \alpha = 0 $, воспользуемся определением синуса через единичную окружность. Синус угла $ \alpha $ — это ордината (координата $ y $) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Уравнение $ \sin \alpha = 0 $ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых ордината равна нулю. Таких точек две: $ (1, 0) $ и $ (-1, 0) $.

Точка $ (1, 0) $ соответствует углам $ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots $, то есть углам вида $ 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Точка $ (-1, 0) $ соответствует углам $ \pm\pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots $, то есть углам вида $ \pi + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Объединив эти два множества решений, мы получим все углы, которые отстоят от $ 0 $ на целое число полуоборотов ($ \pi $). Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ \alpha = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Чтобы найти углы $ \alpha $, для которых $ \cos \alpha = 0 $, воспользуемся определением косинуса через единичную окружность. Косинус угла $ \alpha $ — это абсцисса (координата $ x $) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

Уравнение $ \cos \alpha = 0 $ означает, что мы ищем точки на единичной окружности, у которых абсцисса равна нулю. Таких точек две: $ (0, 1) $ и $ (0, -1) $.

Точка $ (0, 1) $ соответствует углам $ \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $, то есть углам вида $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Точка $ (0, -1) $ соответствует углам $ \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $ (что то же самое, что и $ -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \pm 2\pi, \dots $), то есть углам вида $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $ или $ \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ — целое число.

Эти два множества решений можно объединить. Угол $ \frac{\pi}{2} $ и $ -\frac{\pi}{2} $ (или $ \frac{3\pi}{2} $) отличаются на $ \pi $. Это означает, что решения повторяются через каждый полуоборот ($ \pi $ радиан), начиная с $ \frac{\pi}{2} $. Таким образом, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.