Номер 541, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

541. а) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале системы координат. Точку её пересечения с положительной полуосью $Ox$ обозначьте $A_0$. Считая $\vec{OA_0}$ начальным положением подвижного вектора, постройте (с помощью транспортира) вектор $\vec{OA_\alpha}$, где $\alpha$ — градусная мера угла поворота подвижного вектора. Выполните задание при $\alpha$, равном $0^\circ; 30^\circ; 45^\circ; 60^\circ; 90^\circ$.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_\alpha$ относительно оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите угол поворота, при котором точка $A_\alpha$ переходит в построенную точку.

Сначала построим прямоугольную систему координат $Oxy$. С помощью циркуля построим окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R=5$ см. Точка пересечения этой окружности с положительной полуосью $Ox$ является точкой $A_0$. Её координаты $(5, 0)$. Вектор $\vec{OA_0}$ является начальным положением подвижного вектора.

Далее, с помощью транспортира, откладываем от луча $OA_0$ (совпадающего с положительной полуосью $Ox$) углы $\alpha$ против часовой стрелки. Точки пересечения сторон этих углов с окружностью и будут искомыми точками $A_\alpha$, а векторы, соединяющие начало координат с этими точками — искомыми векторами $\vec{OA_\alpha}$. Координаты точек $A_\alpha$ можно вычислить по формулам: $x = R \cos \alpha$ и $y = R \sin \alpha$.

При $\alpha = 0^\circ$, вектор $\vec{OA_0}$ совпадает с начальным положением. Точка $A_0$ имеет координаты $(5 \cos 0^\circ, 5 \sin 0^\circ) = (5, 0)$.

При $\alpha = 30^\circ$, точка $A_{30}$ имеет координаты $(5 \cos 30^\circ, 5 \sin 30^\circ) = (5 \frac{\sqrt{3}}{2}, 5 \cdot \frac{1}{2}) = (\frac{5\sqrt{3}}{2}, 2.5)$.

При $\alpha = 45^\circ$, точка $A_{45}$ имеет координаты $(5 \cos 45^\circ, 5 \sin 45^\circ) = (5 \frac{\sqrt{2}}{2}, 5 \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$.

При $\alpha = 60^\circ$, точка $A_{60}$ имеет координаты $(5 \cos 60^\circ, 5 \sin 60^\circ) = (5 \cdot \frac{1}{2}, 5 \frac{\sqrt{3}}{2}) = (2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2})$.

При $\alpha = 90^\circ$, точка $A_{90}$ имеет координаты $(5 \cos 90^\circ, 5 \sin 90^\circ) = (0, 5)$.

Ответ: Векторы $\vec{OA_\alpha}$ строятся поворотом начального вектора $\vec{OA_0}$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Концы векторов, точки $A_\alpha$, лежат на окружности радиуса 5 с центром в начале координат и имеют следующие координаты: $A_0(5, 0)$; $A_{30}(\frac{5\sqrt{3}}{2}, 2.5)$; $A_{45}(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$; $A_{60}(2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2})$; $A_{90}(0, 5)$.

Пусть точка $A_\alpha$ получена поворотом точки $A_0(5, 0)$ на угол $\alpha$. Её координаты $(x_\alpha, y_\alpha) = (5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$. Рассмотрим построение симметричных ей точек и определим соответствующие им углы поворота от начального положения $A_0$.

Симметрия относительно оси Ox

Точка $A'_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно оси $Ox$, имеет координаты $(x_\alpha, -y_\alpha)$. Для построения нужно из точки $A_\alpha$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$ и продлить его на такое же расстояние за ось.

Координаты точки $A'_\alpha$ равны $(5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$. Используя тригонометрические тождества $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A'_\alpha$ можно записать как $(5\cos(-\alpha), 5\sin(-\alpha))$. Это означает, что точка $A'_\alpha$ получается поворотом начальной точки $A_0$ на угол $-\alpha$ (или $360^\circ - \alpha$).

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно оси $Ox$, равен $-\alpha$ или $360^\circ - \alpha$.

Симметрия относительно оси Oy

Точка $A''_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-x_\alpha, y_\alpha)$. Для построения нужно из точки $A_\alpha$ опустить перпендикуляр на ось $Oy$ и продлить его на такое же расстояние за ось.

Координаты точки $A''_\alpha$ равны $(-5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$. Используя формулы приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A''_\alpha$ можно записать как $(5\cos(180^\circ - \alpha), 5\sin(180^\circ - \alpha))$.

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно оси $Oy$, равен $180^\circ - \alpha$.

Симметрия относительно начала системы координат

Точка $A'''_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно начала координат $O$, имеет координаты $(-x_\alpha, -y_\alpha)$. Для построения нужно соединить точку $A_\alpha$ с началом координат и продлить этот отрезок на такое же расстояние за точку $O$.

Координаты точки $A'''_\alpha$ равны $(-5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$. Используя формулы приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A'''_\alpha$ можно записать как $(5\cos(180^\circ + \alpha), 5\sin(180^\circ + \alpha))$.

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно начала координат, равен $180^\circ + \alpha$.