Номер 548, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

548. a) $ \sin 225^\circ $;

б) $ \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) $;

в) $ \sin (-\pi) $;

г) $ \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) $;

д) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) $;

е) $ \cos \frac{3\pi}{2} $.

а) Для нахождения значения $\sin{225^\circ}$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 225^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Представим $225^\circ$ в виде суммы $180^\circ + 45^\circ$.

$\sin{225^\circ} = \sin(180^\circ + 45^\circ)$

Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin{\alpha}$, получаем:

$\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin{45^\circ}$

Так как значение $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\sin{225^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для вычисления $\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)$ используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$

Теперь применим формулу приведения. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$), где косинус отрицателен. Представим угол как разность $\pi - \frac{\pi}{4}$.

$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)$

По формуле приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos{\alpha}$:

$\cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно:

$\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Для вычисления $\sin(-\pi)$ используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin(-\pi) = -\sin(\pi)$

Значение синуса от угла $\pi$ (или $180^\circ$) равно нулю. На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Синус - это ордината (координата y) этой точки.

$-\sin(\pi) = -0 = 0$

Ответ: $0$

г) Для нахождения значения $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Угол $\frac{\pi}{3}$ соответствует $60^\circ$. Это табличное значение.

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Для вычисления $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Значение синуса от угла $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$) является табличным и равно $1$. На единичной окружности этому углу соответствует точка $(0, 1)$.

$-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$

Ответ: $-1$

е) Значение $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ является табличным. Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует $270^\circ$.

На единичной окружности этому углу соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Косинус угла - это абсцисса (координата x) этой точки.

Следовательно, $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.

Ответ: $0$