Номер 551, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

551. а) На единичной окружности постройте точки $A_\alpha$, соответствующие углам $\alpha$, равным $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_\alpha$ относительно оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат.

в) Определите радианную меру углов, которым соответствуют построенные точки.

а) Для построения точек на единичной окружности введем прямоугольную систему координат $xOy$. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Углы отсчитываются от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки. Координаты $(x, y)$ точки $A_\alpha$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, определяются формулами $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$.

Найдем координаты для каждого заданного угла:
- Для угла $\alpha = 0$: точка $A_0$ имеет координаты $(\cos 0, \sin 0) = (1, 0)$. Эта точка совпадает с точкой пересечения окружности и положительной полуоси $Ox$.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$): точка $A_{\pi/6}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$): точка $A_{\pi/4}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти на прямой $y=x$.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$): точка $A_{\pi/3}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Эта точка расположена в первой координатной четверти.
- Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$): точка $A_{\pi/2}$ имеет координаты $(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}) = (0, 1)$. Эта точка совпадает с точкой пересечения окружности и положительной полуоси $Oy$.

Ответ: На единичной окружности построены точки $A_0(1,0)$, $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $A_{\pi/2}(0,1)$, расположенные в первой четверти и на ее границах.

б) Построение симметричных точек основано на правилах преобразования координат. Для точки $A(x,y)$:
- Точка, симметричная относительно оси $Ox$, имеет координаты $(x, -y)$.
- Точка, симметричная относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-x, y)$.
- Точка, симметричная относительно начала координат, имеет координаты $(-x, -y)$.

1. Точки, симметричные относительно оси Ox:
- $A_0(1,0)$ симметрична сама себе.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ (IV четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична точке $(0, -1)$ на отрицательной полуоси $Oy$.

2. Точки, симметричные относительно оси Oy:
- $A_0(1,0)$ симметрична точке $(-1, 0)$ на отрицательной полуоси $Ox$.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ (II четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична сама себе.

3. Точки, симметричные относительно начала координат:
- $A_0(1,0)$ симметрична точке $(-1, 0)$.
- $A_{\pi/6}(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/4}(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/3}(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ симметрична точке $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ (III четверть).
- $A_{\pi/2}(0,1)$ симметрична точке $(0, -1)$.

Ответ: Построены точки, симметричные исходным, которые расположены во всех четырех координатных четвертях, а также на осях координат.

в) Радианная мера угла для точки, симметричной точке с углом $\alpha$, находится по формулам:
- Симметрия относительно оси $Ox$: угол $-\alpha$ (или $2\pi - \alpha$ для положительного значения в пределах одного оборота).
- Симметрия относительно оси $Oy$: угол $\pi - \alpha$.
- Симметрия относительно начала координат: угол $\pi + \alpha$.

1. Углы для точек, симметричных относительно оси Ox:
- Для $\alpha = 0$: угол равен $0$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

2. Углы для точек, симметричных относительно оси Oy:
- Для $\alpha = 0$: угол $\pi - 0 = \pi$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

3. Углы для точек, симметричных относительно начала координат:
- Для $\alpha = 0$: угол $\pi + 0 = \pi$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{6}$: угол $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{4}$: угол $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{3}$: угол $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
- Для $\alpha = \frac{\pi}{2}$: угол $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: Радиановые меры углов, соответствующие построенным точкам (включая исходные, так как некоторые симметричные точки совпадают с исходными или другими симметричными):
- Симметричные относительно оси Ox: $0, \frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.
- Симметричные относительно оси Oy: $\pi, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.
- Симметричные относительно начала координат: $\pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.