Номер 557, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

557. Выполняется ли равенство $\cos \alpha = \sin \alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте своё решение на рисунке.

Да, данное равенство выполняется. Чтобы найти значения угла $α$, для которых оно справедливо, решим уравнение $\cos α = \sin α$.

Предположим, что $\cos α \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $\cos α$: $$ \frac{\sin α}{\cos α} = 1 $$ Используя тригонометрическое тождество $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$, получаем: $$ \tan α = 1 $$ Решениями этого уравнения являются: $$ α = \arctan(1) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ $$ α = \frac{\pi}{4} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$ В градусной мере это записывается как $α = 45^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — целое число.

Отметим, что для найденных значений $α$, $\cos α$ не равен нулю (он принимает значения $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$), поэтому наше допущение было верным и деление было корректной операцией.

Проиллюстрируйте своё решение на рисунке.

Геометрическая интерпретация этого равенства видна на единичной окружности. Для любой точки на окружности, отвечающей углу $α$, ее декартовы координаты равны $(x, y) = (\cos α, \sin α)$. Условие $\cos α = \sin α$ означает, что абсцисса точки равна ее ординате, то есть $x = y$.

Это уравнение задает прямую, проходящую через начало координат под углом $45^\circ$ к оси Ox. Точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность ($x^2 + y^2 = 1$), и будут соответствовать искомым углам $α$.

Как видно из рисунка, существуют две точки пересечения:

• Точка $P_1$ в первой координатной четверти, которой соответствует угол $α = 45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан. В этой точке $\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Точка $P_2$ в третьей координатной четверти, которой соответствует угол $α = 225^\circ$ или $\frac{5\pi}{4}$ радиан. В этой точке $\cos(225^\circ) = \sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все решения уравнения можно объединить в одну серию, так как углы $45^\circ$ и $225^\circ$ отличаются на $180^\circ$.

Ответ: Да, равенство выполняется при $α = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число (или $α = 45^\circ + 180^\circ n$).