Номер 562, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вычислите (562–563):

562. a) $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin (-\pi)$;

б) $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + 4 \cos (-2\pi) - 2 \sin (-3\pi)$.

а) $3\cos0 + 2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\frac{\pi}{2} - 7\sin(-\pi)$

Для решения данного выражения необходимо вычислить значения тригонометрических функций для каждого из аргументов, используя их табличные значения и свойства.

1. Значение косинуса от нуля: $\cos0 = 1$.

2. Значение синуса от $\frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

3. Значение косинуса от $\frac{\pi}{2}$: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

4. Для синуса от $-\pi$ используем свойство нечетности функции синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\pi) = -\sin(\pi)$. Значение $\sin(\pi)$ равно $0$, поэтому $\sin(-\pi) = 0$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$3\cos0 + 2\sin\frac{\pi}{2} - 4\cos\frac{\pi}{2} - 7\sin(-\pi) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 - 7 \cdot 0$

Выполним арифметические действия:

$3 + 2 - 0 - 0 = 5$

Ответ: 5

б) $\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4\cos(-2\pi) - 2\sin(-3\pi)$

Для решения этого выражения также вычислим значения каждой тригонометрической функции.

1. Значение косинуса от $\frac{\pi}{2}$: $\cos\frac{\pi}{2} = 0$.

2. Для синуса от $-\frac{3\pi}{4}$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используя формулу приведения, $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Для косинуса от $-2\pi$ используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi)$. Учитывая периодичность косинуса с периодом $2\pi$, имеем $\cos(2\pi) = \cos(0) = 1$.

4. Для синуса от $-3\pi$ используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-3\pi) = -\sin(3\pi)$. Учитывая периодичность синуса с периодом $2\pi$, имеем $\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$. Следовательно, $\sin(-3\pi) = 0$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4\cos(-2\pi) - 2\sin(-3\pi) = 0 - 3 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

Выполним арифметические действия:

$0 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 4 - 0 = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$