Номер 563, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

563. a) $\sin \frac{\pi}{4}+\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)-2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos \frac{5 \pi}{6};$

б) $3 \cos \frac{\pi}{3}-2 \sin \frac{2 \pi}{3}+7 \cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)-\sin \left(-\frac{5 \pi}{4}\right).$

а) Для решения данного выражения вычислим значения каждого тригонометрического слагаемого, используя свойства четности/нечетности функций, формулы приведения и табличные значения.

Свойства четности/нечетности: $cos(-α) = cos(α)$ и $sin(-α) = -sin(α)$.

Вычислим значения по частям:
1. $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $cos(-\frac{3\pi}{4}) = cos(\frac{3\pi}{4}) = cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. $sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
4. $cos\frac{5\pi}{6} = cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$sin\frac{\pi}{4} + cos(-\frac{3\pi}{4}) - 2sin(-\frac{\pi}{6}) + 2cos\frac{5\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения каждого слагаемого.

Вычислим значения по частям:
1. $cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
2. $sin\frac{2\pi}{3} = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $cos(-\frac{2\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
4. $sin(-\frac{5\pi}{4}) = -sin(\frac{5\pi}{4}) = -sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-sin\frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$3cos\frac{\pi}{3} - 2sin\frac{2\pi}{3} + 7cos(-\frac{2\pi}{3}) - sin(-\frac{5\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{3} - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{3}{2} - \frac{7}{2}) - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-4}{2} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.