Номер 566, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

566. Укажите наибольшее и наименьшее значения:

a) $|\sin \alpha|$;

б) $|\cos \alpha|$.

а) |sin α|
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $|\sin \alpha|$ сначала определим область значений функции $\sin \alpha$. Известно, что синус любого угла принимает значения в промежутке от -1 до 1 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin \alpha \le 1$.
Функция модуля (абсолютной величины) $|x|$ по определению неотрицательна, то есть $|x| \ge 0$ для любого числа $x$. Когда мы берем модуль от выражения $\sin \alpha$, все его отрицательные значения становятся положительными, а неотрицательные остаются без изменений. Таким образом, значения выражения $|\sin \alpha|$ будут находиться в промежутке от 0 до 1.
Наименьшее значение выражения $|\sin \alpha|$ достигается, когда значение под модулем равно нулю. То есть, когда $\sin \alpha = 0$. В этом случае $|\sin \alpha| = |0| = 0$. Это происходит при углах $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $0, \pi, 2\pi, \ldots$).
Наибольшее значение выражения $|\sin \alpha|$ достигается, когда значение $\sin \alpha$ максимально по модулю, то есть равно 1 или -1.
Если $\sin \alpha = 1$, то $|\sin \alpha| = |1| = 1$.
Если $\sin \alpha = -1$, то $|\sin \alpha| = |-1| = 1$.
В обоих случаях наибольшее значение равно 1. Это происходит при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $\pi/2, 3\pi/2, \ldots$).
Ответ: Наименьшее значение: 0; наибольшее значение: 1.

б) |cos α|
Рассуждения для выражения $|\cos \alpha|$ полностью аналогичны рассуждениям для $|\sin \alpha|$. Область значений функции косинуса также является отрезком $[-1, 1]$:
$-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Применяя операцию взятия модуля, мы получаем, что значения выражения $|\cos \alpha|$ также будут находиться в промежутке от 0 до 1.
Наименьшее значение $|\cos \alpha|$ равно 0. Оно достигается, когда $\cos \alpha = 0$. Это происходит при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $\pi/2, 3\pi/2, \ldots$).
Наибольшее значение $|\cos \alpha|$ равно 1. Оно достигается, когда $\cos \alpha$ принимает значения, максимальные по модулю, то есть 1 или -1.
Если $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$, то $|\cos \alpha| = 1$. Это происходит при углах $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $0, \pi, 2\pi, \ldots$).
Ответ: Наименьшее значение: 0; наибольшее значение: 1.