Номер 571, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

571. Вычислите $ \cos \alpha $, если:

a) $ \sin \alpha = 0,8 $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

б) $ \sin \alpha = -0,6 $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

а)

Для нахождения $\cos\alpha$, зная $\sin\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставим известное значение $\sin\alpha = 0,8$:

$\cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

Отсюда находим два возможных значения для $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$ или $\cos\alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй четверти тригонометрической окружности. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения.

Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус.

Ответ: -0,6

б)

Аналогично пункту а), используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выражаем и вычисляем $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставляем известное значение $\sin\alpha = -0,6$:

$\cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Находим возможные значения для $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{0,64} = 0,8$ или $\cos\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует четвертой четверти тригонометрической окружности. В четвертой четверти косинус принимает положительные значения.

Таким образом, мы выбираем значение со знаком плюс.

Ответ: 0,8