Номер 575, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

575. a) $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

в) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

а) Для упрощения выражения $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$ вынесем $-1$ за скобки в последних двух слагаемых.
$1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Подставив это значение в выражение, получим:
$1 - 1 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ можно представить как разность квадратов $(\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Данное выражение также можно записать через формулу косинуса двойного угла: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.

Ответ: $-\cos(2\alpha)$ (или $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$).

в) Рассмотрим выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) + (-\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$.
Как мы выяснили в пункте б), $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

г) Для упрощения выражения $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$ раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Сгруппируем члены выражения:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а также заметив, что $2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 0$, получаем:
$1 + 1 + 0 = 2$.

Ответ: $2$.