Номер 581, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

581. Найдите все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для каждого из которых справедливо равенство:

а) $|\sin \alpha| = \sin \alpha;$

б) $|\cos \alpha| = -\cos \alpha.$

а)

По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.

Применяя это свойство к данному уравнению, получаем, что равенство $|\sin\alpha| = \sin\alpha$ справедливо для всех углов $\alpha$, для которых выполняется условие $\sin\alpha \ge 0$.

На тригонометрической окружности синус угла (ордината точки) является неотрицательным в I и II координатных четвертях. Это соответствует углам $\alpha$ в промежутке $[0, \pi]$.

Нам необходимо найти все такие углы из интервала $(0, 2\pi)$. Для этого найдем пересечение множества решений $\alpha \in [0, \pi]$ с интервалом $(0, 2\pi)$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(0, \pi]$. Точка $\alpha=0$ не входит в заданный интервал, а точка $\alpha=\pi$ входит.

Ответ: $\alpha \in (0, \pi]$.

б)

По определению модуля числа, равенство $|x| = -x$ выполняется тогда и только тогда, когда $x \le 0$.

Применяя это свойство к данному уравнению, получаем, что равенство $|\cos\alpha| = -\cos\alpha$ справедливо для всех углов $\alpha$, для которых выполняется условие $\cos\alpha \le 0$.

На тригонометрической окружности косинус угла (абсцисса точки) является неположительным во II и III координатных четвертях. Это соответствует углам $\alpha$ в промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Нам необходимо найти все такие углы из интервала $(0, 2\pi)$. Весь отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ полностью содержится в интервале $(0, 2\pi)$, так как $0 < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < 2\pi$.

Ответ: $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.