Номер 588, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

588. Вычислите:

а) $\sin \left(\frac{\pi}{4}+3\pi\right)$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3}-8\pi\right)$;

в) $\sin \left(9\frac{5}{6}\pi\right)$.

а) $sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством периодичности функции синус. Период синуса равен $2\pi$, что означает $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ для любого целого $k$.
Аргумент синуса можно переписать, выделив слагаемое, кратное $2\pi$:
$\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi$.
Используя свойство периодичности, отбрасываем $2\pi$:
$sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = sin(\frac{\pi}{4} + \pi)$.
Далее применяем формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$:
$sin(\frac{\pi}{4} + \pi) = -sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, получаем:
$sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) $cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi)$

Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством периодичности функции косинус. Период косинуса равен $2\pi$, что означает $cos(x + 2\pi k) = cos(x)$ для любого целого $k$.
В данном случае слагаемое $-8\pi$ является целым кратным периода $2\pi$, так как $-8\pi = 2\pi \cdot (-4)$.
Поэтому мы можем отбросить это слагаемое из аргумента косинуса:
$cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) = cos(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $sin(9\frac{5}{6}\pi)$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, чтобы упростить аргумент функции:
$9\frac{5}{6}\pi = (\frac{9 \cdot 6 + 5}{6})\pi = \frac{59}{6}\pi$.
Теперь воспользуемся свойством периодичности синуса. Для этого выделим в аргументе слагаемое, кратное полному обороту $2\pi$.
$\frac{59}{6}\pi = \frac{60\pi - \pi}{6} = \frac{60\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 10\pi - \frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $sin(10\pi - \frac{\pi}{6})$.
Так как $10\pi = 5 \cdot 2\pi$, это слагаемое можно отбросить в силу периодичности синуса:
$sin(10\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(-\frac{\pi}{6})$.
Функция синус является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$. Следовательно:
$sin(-\frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
В итоге получаем:
$sin(9\frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$