Номер 589, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

589. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\alpha + \pi)}$;

б) $\frac{\cos(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\sin(\pi + \alpha)}$;

в) $\sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi) - \cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi)$;

г) $\sin(2\pi + \alpha)\sin(3\pi - \alpha) - \cos(3\pi + \alpha)\cos(\alpha - 2\pi)$, где угол $\alpha$ такой, что знаменатель дроби не обращается в нуль.

а) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\cos(\alpha + \pi)}$.

Для упрощения воспользуемся формулами приведения:

В числителе:

• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, синус отрицательный).
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол во II четверти, косинус отрицательный).

В знаменателе:

• $\sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$ (так как синус — нечетная функция, а $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$).
• $\cos(\alpha + \pi) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\sin(\alpha))(-\cos(\alpha))}{(-\sin(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = 1$.

Ответ: $1$

б) Упростим выражение $\frac{\cos(\pi - \alpha)\cos(\pi + \alpha)}{\sin(\alpha - \pi)\sin(\pi + \alpha)}$.

Используем формулы приведения:

• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$
• $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\alpha)$
• $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$

Подставляем в выражение:

$\frac{(-\cos(\alpha))(-\cos(\alpha))}{(-\sin(\alpha))(-\sin(\alpha))} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \text{ctg}^2(\alpha)$.

Ответ: $\text{ctg}^2(\alpha)$

в) Упростим выражение $\sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi) - \cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi)$.

Сначала упростим каждый тригонометрический член:

• $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
• $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$.
• $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
• $\cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (так как косинус — четная функция).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(-\sin(\alpha))(-\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))(-\cos(\alpha)) = \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)$.

Мы знаем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Следовательно, $\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)) = -\cos(2\alpha)$.

Альтернативное решение:

Преобразуем выражение: $-[\cos(\pi + \alpha)\cos(\alpha - \pi) - \sin(\alpha - \pi)\sin(\alpha + \pi)]$.

Используя четность косинуса, $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha)$, и нечетность синуса, $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha)$, получим:

$-[\cos(\pi + \alpha)\cos(\pi - \alpha) + \sin(\pi + \alpha)\sin(\pi - \alpha)]$.

Выражение в скобках является формулой косинуса разности $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$, где $A = \pi + \alpha$ и $B = \pi - \alpha$.

Тогда выражение равно $-[\cos((\pi + \alpha) - (\pi - \alpha))] = -[\cos(\pi + \alpha - \pi + \alpha)] = -\cos(2\alpha)$.

Ответ: $-\cos(2\alpha)$

г) Упростим выражение $\sin(2\pi + \alpha)\sin(3\pi - \alpha) - \cos(3\pi + \alpha)\cos(\alpha - 2\pi)$.

Упростим каждый член, используя периодичность тригонометрических функций и формулы приведения:

• $\sin(2\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$ (период синуса $2\pi$).
• $\sin(3\pi - \alpha) = \sin(2\pi + \pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол во II четверти).
• $\cos(3\pi + \alpha) = \cos(2\pi + \pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$ (угол в III четверти).
• $\cos(\alpha - 2\pi) = \cos(\alpha)$ (период косинуса $2\pi$).

Подставляем упрощенные выражения обратно:

$(\sin(\alpha))(\sin(\alpha)) - (-\cos(\alpha))(\cos(\alpha)) = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем результат.

Ответ: $1$