Номер 595, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

595. а) $\ctg \frac{\pi}{2}$;

б) $\ctg 270^\circ$;

в) $\ctg \frac{\pi}{3}$;

г) $\ctg 90^\circ$;

д) $\ctg \frac{\pi}{4}$;

е) $\ctg 45^\circ$;

ж) $\ctg \frac{\pi}{6}$;

з) $\ctg 0$.

а) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{2}$.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$.

Для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^{\circ}$) значения тригонометрических функций равны:

$cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

$sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Подставим эти значения в формулу:

$ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(\frac{\pi}{2})}{sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$.

б) Найдем значение котангенса для угла $270^{\circ}$.

Используем определение котангенса: $ctg(270^{\circ}) = \frac{cos(270^{\circ})}{sin(270^{\circ})}$.

Значения косинуса и синуса для угла $270^{\circ}$ (что соответствует $\frac{3\pi}{2}$ радиан):

$cos(270^{\circ}) = 0$

$sin(270^{\circ}) = -1$

Подставляем значения:

$ctg(270^{\circ}) = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: $0$.

в) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ в радианах соответствует $60^{\circ}$. Это один из стандартных углов.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Найдем значение котангенса для угла $90^{\circ}$.

Этот пример идентичен пункту а), так как $90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

$ctg(90^{\circ}) = \frac{cos(90^{\circ})}{sin(90^{\circ})} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$.

д) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах соответствует $45^{\circ}$.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{cos(\frac{\pi}{4})}{sin(\frac{\pi}{4})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.

е) Найдем значение котангенса для угла $45^{\circ}$.

Этот пример идентичен пункту д), так как $45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

$ctg(45^{\circ}) = \frac{cos(45^{\circ})}{sin(45^{\circ})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$.

ж) Найдем значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ в радианах соответствует $30^{\circ}$.

Используем формулу $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{cos(\frac{\pi}{6})}{sin(\frac{\pi}{6})}$.

Табличные значения для этого угла:

$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Следовательно, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

з) Найдем значение котангенса для угла $0$.

Имеется в виду угол $0$ радиан или $0^{\circ}$.

Используем определение котангенса: $ctg(0) = \frac{cos(0)}{sin(0)}$.

Значения косинуса и синуса для угла $0$:

$cos(0) = 1$

$sin(0) = 0$

Следовательно, $ctg(0) = \frac{1}{0}$. Операция деления на ноль в математике не определена. Это означает, что котангенс для угла $0$ не существует. График функции $y=ctg(x)$ имеет вертикальную асимптоту в точке $x=0$.

Ответ: не существует (не определен).