Номер 600, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (600—602):

600¹.a) $\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

б) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$;

в) $\frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

г) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha$;

д) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$;

е) $1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$;

ж) $\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$;

з) $\frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$.

а)

Для упрощения выражения $ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Из этого тождества следуют два равенства:
$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $
$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
По определению тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, следовательно $ \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $.
Таким образом, выражение упрощается до $ \text{tg}^2 \alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^2 \alpha $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha} $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Преобразуем числитель: $ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha $.
Преобразуем знаменатель: $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 $
По определению котангенса $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
Следовательно, выражение равно $ -\text{ctg}^2 \alpha $.
Ответ: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} $.
Используем основное тригонометрическое тождество для преобразования знаменателя: $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.
Выражение принимает вид:
$ \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Сократим дробь на $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):
$ \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} $
Используя определение тангенса $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, получаем:
$ 2 \text{tg} \alpha $
Ответ: $ 2 \text{tg} \alpha $.

г)

Упростим выражение $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha $.
Первые два слагаемых, согласно основному тригонометрическому тождеству, дают в сумме 1: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Тогда выражение становится:
$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha $
Это одна из форм основного тригонометрического тождества. Вспомним, что $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $:
$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

д)

Рассмотрим выражение $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 $.
Приведем к общему знаменателю $ \cos^2 \alpha $:
$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.
Подставим это в числитель:
$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $
Это выражение равно квадрату тангенса: $ \text{tg}^2 \alpha $.
Ответ: $ \text{tg}^2 \alpha $.

е)

Упростим выражение $ 1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sin^2 \alpha $:
$ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
Подставим это в числитель:
$ \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 $
Это выражение равно квадрату котангенса со знаком минус: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.
Ответ: $ -\text{ctg}^2 \alpha $.

ж)

Рассмотрим выражение $ \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} $.
Перегруппируем множители в дроби:
$ \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cdot \left(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) $
По определению тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Применяя это определение для углов $ \alpha $ и $ \beta $, получаем:
$ \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $
Ответ: $ \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $.

з)

Упростим выражение $ \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} $.
Перегруппируем множители в дроби:
$ \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \cdot \left(\frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right) $
По определению котангенса $ \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $ и тангенса $ \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $.
Применяя эти определения для углов $ \alpha $ и $ \beta $, получаем:
$ \text{ctg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $
Ответ: $ \text{ctg} \alpha \cdot \text{tg} \beta $.