Номер 606, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

606. a) $ \frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2 \sin^2 \alpha + 1} $;

б) $ \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} $.

¹ В заданиях 600–606 углы $\alpha$ и $\beta$ таковы, что данные числовые выражения имеют смысл.

а) Упростим выражение $\frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}$.

Сначала преобразуем числитель. Вынесем минус за скобки:

$1 - (\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha)$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Возведем его в квадрат:

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2$

$\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1$

Отсюда выразим сумму четвертых степеней:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Подставим это выражение обратно в числитель исходной дроби:

$1 - (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель. Заметим, что это формула квадрата разности:

$\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2$

Из основного тригонометрического тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Тогда знаменатель равен:

$(-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha}$

Сократим дробь на $\cos^2 \alpha$ (по условию выражение имеет смысл, значит знаменатель не равен нулю, следовательно $\cos \alpha \neq 0$):

$\frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \tan^2 \alpha$.

Ответ: $2 \tan^2 \alpha$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$.

Преобразуем числитель, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)$

Сгруппируем слагаемые во второй скобке и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$(\cos \alpha - \sin \alpha)((\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha) = (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$

Теперь подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$ (по условию выражение имеет смысл, значит знаменатель не равен нулю):

$\cos \alpha - \sin \alpha$.

Ответ: $\cos \alpha - \sin \alpha$.