Номер 610, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

610. a) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7};$

б) $\sin \frac{3\pi}{4} \sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{4}.$

а) Данное выражение $ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} $ соответствует правой части формулы косинуса суммы двух углов:
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $
В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{6\pi}{7} $.
Подставим наши значения в левую часть формулы, чтобы упростить выражение:
$ \cos(\frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7}) $
Сложим углы в скобках:
$ \frac{\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = \frac{7\pi}{7} = \pi $
Теперь найдем значение косинуса:
$ \cos(\pi) = -1 $
Ответ: $-1$

б) Рассмотрим выражение $ \sin\frac{3\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{4} $.
Это выражение похоже на формулу косинуса суммы, но с противоположными знаками. Вынесем минус за скобки, чтобы привести его к стандартному виду:
$ -(\cos\frac{3\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{4} - \sin\frac{3\pi}{4}\sin\frac{7\pi}{4}) $
Выражение в скобках теперь соответствует формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{4} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{4} $.
Применим формулу:
$ - \cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) $
Сложим углы в скобках:
$ \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $
Наше выражение принимает вид:
$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) $
Чтобы найти значение, воспользуемся периодичностью функции косинуса ($ 2\pi $):
$ \frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi + \pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $
Следовательно:
$ -\cos(\frac{5\pi}{2}) = -\cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) $
Значение $ \cos(\frac{\pi}{2}) $ равно 0.
$ -0 = 0 $
Ответ: $0$