Номер 604, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (604–606):

604. a) $\frac{\text{tg}(\alpha + \pi) - \text{tg}(\beta + 2\pi)}{\text{ctg}(-\beta) - \text{ctg}(-\alpha)};$

б) $\frac{\text{ctg}(\pi - \alpha) + \text{tg}(-\alpha)}{\text{ctg}(\alpha + 3\pi) - \text{tg}(\alpha + 2\pi)}.$

а)

Дано выражение: $\frac{\text{tg}(\alpha + \pi) - \text{tg}(\beta + 2\pi)}{\text{ctg}(-\beta) - \text{ctg}(-\alpha)}$

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами тригонометрических функций: периодичностью и четностью/нечетностью.

1. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha + \pi) = \text{tg}(\alpha)$ и $\text{tg}(\beta + 2\pi) = \text{tg}(\beta)$.

2. Котангенс является нечетной функцией, поэтому $\text{ctg}(-\beta) = -\text{ctg}(\beta)$ и $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{-\text{ctg}(\beta) - (-\text{ctg}(\alpha))} = \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\text{ctg}(\alpha) - \text{ctg}(\beta)}$

Теперь выразим котангенсы через тангенсы, используя формулу $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)}$:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\frac{1}{\text{tg}(\alpha)} - \frac{1}{\text{tg}(\beta)}}$

Приведем знаменатель к общему знаменателю:

$\frac{1}{\text{tg}(\alpha)} - \frac{1}{\text{tg}(\beta)} = \frac{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}$

Подставим это обратно в выражение:

$\frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{\frac{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}} = (\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)) \cdot \frac{\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)}$

Заметим, что $\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta) = -(\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha))$.

$\frac{-(\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)) \cdot \text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)}{\text{tg}(\beta) - \text{tg}(\alpha)} = -\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)$

Ответ: $-\text{tg}(\alpha)\text{tg}(\beta)$

б)

Дано выражение: $\frac{\text{ctg}(\pi - \alpha) + \text{tg}(-\alpha)}{\text{ctg}(\alpha + 3\pi) - \text{tg}(\alpha + 2\pi)}$

Упростим каждый член выражения, используя формулы приведения и свойства периодичности.

1. В числителе:

- По формуле приведения $\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен).

- Тангенс — нечетная функция, поэтому $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

2. В знаменателе:

- Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(\alpha + 3\pi) = \text{ctg}(\alpha)$.

- Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(\alpha + 2\pi) = \text{tg}(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{-\text{ctg}(\alpha) + (-\text{tg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha)} = \frac{-(\text{ctg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha))}{\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha)}$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Преобразуем числитель:

$-(\text{ctg}(\alpha) + \text{tg}(\alpha)) = -(\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}) = -(\frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}) = -\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Преобразуем знаменатель:

$\text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{-\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = -\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = -\frac{1}{\cos(2\alpha)}$

Ответ: $-\frac{1}{\cos(2\alpha)}$