Номер 611, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

611. Упростите выражение:

а) $\cos \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) - \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right);$

б) $\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right).$

а)

Для упрощения выражения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $ воспользуемся формулами косинуса суммы и косинуса разности:

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

Применим эти формулы к каждому слагаемому в исходном выражении, где $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} $:

$ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

$ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Теперь подставим разложенные выражения в исходное и раскроем скобки:

$ \left(\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = $

$ = \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $ \cos(\alpha) $ взаимно уничтожаются:

$ (\cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2\sin(\alpha)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $

Мы знаем табличное значение $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим его в полученное выражение:

$ -2\sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\alpha) $

Ответ: $ -\sin(\alpha) $

б)

Для упрощения выражения $ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $ также воспользуемся формулами косинуса разности и косинуса суммы:

$ \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y) $

$ \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) $

Применим формулы, где $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

$ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Подставим в исходное выражение и раскроем скобки:

$ \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha)\right) - \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha)\right) = $

$ = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $ \cos(\alpha) $ взаимно уничтожаются:

$ (\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(\alpha) $

Мы знаем табличное значение $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим его в полученное выражение:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha) $

Ответ: $ \sqrt{3}\sin(\alpha) $