Номер 618, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

618. а) $ \cos 75^{\circ} + \cos 15^{\circ} $

б) $ \cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} $

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

Подставим значения в формулу:

$\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2 \cos\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cos\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}$

Выполним вычисления в аргументах косинусов:

$\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

$\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$2 \cos 45^\circ \cos 30^\circ$

Мы знаем значения косинусов для этих углов:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем эти значения и вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

б) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Подставим значения в формулу:

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}$

Выполним вычисления в аргументах синусов:

$\frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{12}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{6}$

Теперь подставим полученные значения углов обратно в выражение:

$-2 \sin\frac{\pi}{4} \sin(-\frac{\pi}{6})$

Используем свойство нечетности синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$-2 \sin\frac{\pi}{4} \cdot (-\sin\frac{\pi}{6}) = 2 \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{6}$

Мы знаем значения синусов для этих углов:

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения и вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$