Номер 624, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

624. Доказываем. Докажите формулу:

а) $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$;

б) $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha.$

а) Для доказательства формулы $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{2}) \sin\alpha $

Мы знаем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{\pi}{2} $: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $. Подставим эти значения в полученное выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos\alpha - 1 \cdot \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha $

Таким образом, мы доказали, что $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.

б) Для доказательства формулы $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}) \cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}) \sin\alpha $

Используя те же значения, $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $, подставим их в выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + 0 = \cos\alpha $

Таким образом, мы доказали, что $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.