Номер 630, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите справедливость равенства (630–631):

630. a) $\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha;$

б) $\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha;$

в) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha;$

г) $\sin \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha.$

а)

Для доказательства справедливости равенства $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

В нашем случае $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$sin(\pi + \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) + cos(\pi)sin(\alpha)$

Мы знаем, что $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$sin(\pi + \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) + (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 - sin(\alpha) = -sin(\alpha)$

Таким образом, мы доказали, что $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

б)

Для доказательства равенства $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Здесь $x = \pi$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения:

$sin(\pi - \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) - cos(\pi)sin(\alpha)$

Используя значения $sin(\pi) = 0$ и $cos(\pi) = -1$, получаем:

$sin(\pi - \alpha) = (0) \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = 0 + sin(\alpha) = sin(\alpha)$

Таким образом, равенство $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ доказано.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

в)

Для доказательства равенства $sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -cos(\alpha)$ применим формулу синуса разности:

$sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

В данном случае $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$.

$sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(\alpha) - cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(\alpha)$

Значения тригонометрических функций для угла $\frac{3\pi}{2}$ равны: $sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ и $cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. Подставим их:

$sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = (-1) \cdot cos(\alpha) - (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha) - 0 = -cos(\alpha)$

Равенство $sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -cos(\alpha)$ доказано.

Ответ: Справедливость равенства доказана.

г)

Для доказательства равенства $sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -cos(\alpha)$ применим формулу синуса суммы:

$sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

Здесь $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = \alpha$.

$sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)cos(\alpha) + cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)sin(\alpha)$

Подставляя известные значения $sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ и $cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$, получаем:

$sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = (-1) \cdot cos(\alpha) + (0) \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha) + 0 = -cos(\alpha)$

Следовательно, равенство $sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -cos(\alpha)$ является верным.

Ответ: Справедливость равенства доказана.