Номер 636, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

636. Вычислите:

a) $sin(\alpha + \beta)$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ и $sin \alpha = \frac{1}{2}$, $cos \beta = \frac{1}{3}$;

б) $sin(\alpha - \beta)$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ и $cos \alpha = -0,2$, $cos \beta = -0,1$.

а)

Для вычисления $sin(\alpha + \beta)$ воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам дано: $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и $cos(\beta) = \frac{1}{3}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$), где синусы и косинусы положительны.

1. Найдем $cos(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $cos(\alpha) > 0$. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем $sin(\beta)$, используя то же тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\beta$ находится в первой четверти, $sin(\beta) > 0$. Следовательно, $sin(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. Подставим найденные значения в формулу синуса суммы:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{3}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$

б)

Для вычисления $sin(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Из условия задачи нам дано: $cos(\alpha) = -0.2 = -\frac{1}{5}$ и $cos(\beta) = -0.1 = -\frac{1}{10}$. Угол $\alpha$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), а угол $\beta$ - в третьей четверти ($\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$).

1. Найдем $sin(\alpha)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.

2. Найдем $sin(\beta)$, используя то же тождество $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$.

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (-\frac{1}{10})^2 = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.

Так как $\beta$ находится в третьей четверти, $sin(\beta) < 0$. Следовательно, $sin(\beta) = -\sqrt{\frac{99}{100}} = -\frac{\sqrt{99}}{10} = -\frac{3\sqrt{11}}{10}$.

3. Подставим найденные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = (\frac{2\sqrt{6}}{5}) \cdot (-\frac{1}{10}) - (-\frac{1}{5}) \cdot (-\frac{3\sqrt{11}}{10}) = -\frac{2\sqrt{6}}{50} - \frac{3\sqrt{11}}{50} = \frac{-2\sqrt{6} - 3\sqrt{11}}{50}$.

Ответ: $\frac{-2\sqrt{6} - 3\sqrt{11}}{50}$