Номер 642, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

642. a) $\cos 40^\circ + \cos 30^\circ + \cos 20^\circ + \cos 10^\circ$;

б) $\sin 5^\circ + \sin 10^\circ + \sin 15^\circ + \sin 20^\circ$.

а)

Для решения данного выражения необходимо преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение. Для этого сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Исходное выражение: $cos 40^{\circ} + cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ} + cos 10^{\circ}$.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим для удобства вычислений:

$(cos 40^{\circ} + cos 10^{\circ}) + (cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ})$

Применим формулу к первой группе слагаемых:

$cos 40^{\circ} + cos 10^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{40^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{40^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 15^{\circ}$

Применим формулу ко второй группе слагаемых:

$cos 30^{\circ} + cos 20^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{30^{\circ} + 20^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{30^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 15^{\circ} + 2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Вынесем общий множитель $2 \cdot cos 25^{\circ}$ за скобки:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot (cos 15^{\circ} + cos 5^{\circ})$

Снова применим формулу суммы косинусов для выражения в скобках:

$cos 15^{\circ} + cos 5^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{15^{\circ} + 5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{15^{\circ} - 5^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}$

Подставим результат в наше выражение:

$2 \cdot cos 25^{\circ} \cdot (2 \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 5^{\circ}) = 4 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 25^{\circ}$

Ответ: $4 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 10^{\circ} \cdot cos 25^{\circ}$.

б)

Для решения данного выражения преобразуем сумму синусов в произведение. Для этого сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 \cdot sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Исходное выражение: $sin 5^{\circ} + sin 10^{\circ} + sin 15^{\circ} + sin 20^{\circ}$.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(sin 20^{\circ} + sin 5^{\circ}) + (sin 15^{\circ} + sin 10^{\circ})$

Применим формулу к первой группе:

$sin 20^{\circ} + sin 5^{\circ} = 2 \cdot sin \frac{20^{\circ} + 5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{20^{\circ} - 5^{\circ}}{2} = 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 7.5^{\circ}$

Применим формулу ко второй группе:

$sin 15^{\circ} + sin 10^{\circ} = 2 \cdot sin \frac{15^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{15^{\circ} - 10^{\circ}}{2} = 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Подставим полученные выражения в исходную сумму:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 7.5^{\circ} + 2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Вынесем общий множитель $2 \cdot sin 12.5^{\circ}$ за скобки:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot (cos 7.5^{\circ} + cos 2.5^{\circ})$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ для выражения в скобках:

$cos 7.5^{\circ} + cos 2.5^{\circ} = 2 \cdot cos \frac{7.5^{\circ} + 2.5^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{7.5^{\circ} - 2.5^{\circ}}{2} = 2 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}$

Подставим результат в наше выражение:

$2 \cdot sin 12.5^{\circ} \cdot (2 \cdot cos 5^{\circ} \cdot cos 2.5^{\circ}) = 4 \cdot cos 2.5^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} \cdot sin 12.5^{\circ}$

Ответ: $4 \cdot cos 2.5^{\circ} \cdot cos 5^{\circ} \cdot sin 12.5^{\circ}$.