Номер 645, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

645. Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} = 0; $

б) $ \sin \frac{3\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{5} = 0; $

в) $ \cos \frac{9\pi}{14} + \cos \frac{5\pi}{14} = 0; $

г) $ \sin \frac{3\pi}{10} - \sin \frac{7\pi}{10} = 0. $

а) Чтобы доказать равенство, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим второй член левой части равенства следующим образом: $\cos\frac{7\pi}{12} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{12})$. Применяя формулу, получаем $\cos(\pi - \frac{5\pi}{12}) = -\cos\frac{5\pi}{12}$. Теперь подставим полученное выражение в исходное равенство: $\cos\frac{5\pi}{12} + (-\cos\frac{5\pi}{12}) = \cos\frac{5\pi}{12} - \cos\frac{5\pi}{12} = 0$. Таким образом, мы пришли к верному тождеству $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства используем формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Заметим, что аргумент первого члена можно представить как $\frac{3\pi}{5} = \pi - \frac{2\pi}{5}$. Следовательно, $\sin\frac{3\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{2\pi}{5}) = \sin\frac{2\pi}{5}$. Подставим это в левую часть исходного равенства: $\sin\frac{2\pi}{5} - \sin\frac{2\pi}{5} = 0$. В результате получаем верное равенство $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

в) Применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Аргумент первого косинуса можно выразить как $\frac{9\pi}{14} = \pi - \frac{5\pi}{14}$. Тогда $\cos\frac{9\pi}{14} = \cos(\pi - \frac{5\pi}{14}) = -\cos\frac{5\pi}{14}$. Подставляя это в левую часть равенства, получаем: $-\cos\frac{5\pi}{14} + \cos\frac{5\pi}{14} = 0$. Получили тождество $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.

г) Воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$. Представим аргумент второго синуса в виде разности: $\frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10}$. Применив формулу, получим: $\sin\frac{7\pi}{10} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{10}) = \sin\frac{3\pi}{10}$. Подставим это выражение в исходное равенство: $\sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{3\pi}{10} = 0$. Мы пришли к верному тождеству $0 = 0$.
Ответ: Равенство доказано.