Номер 644, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (644—645).

644. Докажите справедливость равенства:

a) $\sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0;$

б) $\cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0.$

Для доказательства равенства $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ - \cos 20^\circ = 0 $ преобразуем его левую часть. К первым двум слагаемым, $ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ $, применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $:

$ \sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{50^\circ + 10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{50^\circ - 10^\circ}{2}\right) = 2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ $.

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, продолжаем упрощение: $ 2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ (\sin 50^\circ + \sin 10^\circ) - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0 $. Получено верное тождество $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.

Для доказательства равенства $ \cos 48^\circ + \sin 18^\circ - \cos 12^\circ = 0 $ преобразуем его левую часть. Сгруппируем косинусы, $ (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ $, и к разности косинусов применим формулу $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} $:

$ \cos 48^\circ - \cos 12^\circ = -2 \sin\left(\frac{48^\circ + 12^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{48^\circ - 12^\circ}{2}\right) = -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ $.

Зная, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, продолжаем упрощение: $ -2 \sin 30^\circ \sin 18^\circ = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ (\cos 48^\circ - \cos 12^\circ) + \sin 18^\circ = -\sin 18^\circ + \sin 18^\circ = 0 $. Получено верное тождество $ 0 = 0 $, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.