Номер 650, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Докажите справедливость равенства (650—651):

650. a) $\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \cot \frac{\beta - \alpha}{2}$;

б) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha \right).$

а) Докажем справедливость равенства $ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \operatorname{ctg} \frac{\beta - \alpha}{2} $. Для этого преобразуем левую часть.

Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

Формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Формула разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\cos \alpha - \cos \beta} = \frac{2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}} $.

При условии, что $ \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \neq 0 $, сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} $:

$ \frac{\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}{-\sin \frac{\alpha-\beta}{2}} = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Используем свойство нечетности функции котангенса, согласно которому $ -\operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg}(-x) $:

$ -\operatorname{ctg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right) $.

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство справедливо.

б) Докажем справедливость равенства $ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) $. Для этого преобразуем левую часть.

Разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos \alpha $ (предполагая, что $ \cos \alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} $.

Зная, что $ \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1 $, мы можем подставить это значение в полученное выражение:

$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \alpha} $.

Полученное выражение является формулой тангенса суммы $ \operatorname{tg}(x+y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} $ для $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ y = \alpha $.

Следовательно, мы можем записать:

$ \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) $.

Мы преобразовали левую часть к виду правой части, чем доказали справедливость равенства.

Ответ: Равенство справедливо.