Номер 656, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

656. Упростите выражение:

a) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

б) $4 \sin 22^\circ 30^\prime \cos 22^\circ 30^\prime$;

в) $5 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}$;

г) $\cos (-15^\circ) \sin (-15^\circ)$.

а) $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ$

Данное выражение полностью соответствует формуле синуса двойного угла, где $\alpha = 15^\circ$.

Применяем формулу:

$2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $4\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30'$

Сначала преобразуем выражение, представив коэффициент 4 как $2 \cdot 2$:

$4\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30' = 2 \cdot (2\sin 22^\circ30' \cos 22^\circ30')$.

Выражение в скобках соответствует формуле синуса двойного угла, где $\alpha = 22^\circ30'$. Учтем, что $30'$ (30 угловых минут) равны $0.5^\circ$, поэтому угол $\alpha = 22.5^\circ$.

Применяем формулу:

$2 \cdot (2\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ) = 2 \cdot \sin(2 \cdot 22.5^\circ) = 2\sin(45^\circ)$.

Табличное значение $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $2\sin(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

в) $5\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$

Преобразуем выражение, чтобы можно было применить формулу синуса двойного угла:

$5\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{5}{2} \cdot (2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12})$.

Применим формулу к выражению в скобках, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$:

$2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{2\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставляем полученное значение обратно:

$\frac{5}{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{6})$ (что соответствует $\sin(30^\circ)$) равно $\frac{1}{2}$.

Вычисляем конечный результат: $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$

г) $\cos(-15^\circ)\sin(-15^\circ)$

Воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$), а синус — нечетная ($\sin(-x) = -\sin x$).

$\cos(-15^\circ)\sin(-15^\circ) = \cos(15^\circ) \cdot (-\sin(15^\circ)) = -\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$.

Из формулы синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

Применим это соотношение для $\alpha = 15^\circ$:

$-\sin(15^\circ)\cos(15^\circ) = -\frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = -\frac{\sin(30^\circ)}{2}$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-\frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$