Номер 657, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

657. Вычислите $sin 2\\alpha$, если:

а) $sin \\alpha = \\frac{1}{2}$, $0 < \\alpha < \\frac{\\pi}{2}$;

б) $cos \\alpha = -\\frac{1}{3}$, $\\frac{\\pi}{2} < \\alpha < \\pi$.

а)

Для вычисления $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию задачи $sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти значения косинуса положительны.

Найдем значение $cos(\alpha)$ используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $cos^2(\alpha)$: $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$.

Подставим известное значение $sin(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Так как $\alpha$ находится в первой четверти, $cos(\alpha) > 0$, поэтому $cos(\alpha) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Снова используем формулу синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

По условию задачи $cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти значения синуса положительны.

Найдем значение $sin(\alpha)$ используя основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим $sin^2(\alpha)$: $sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$.

Подставим известное значение $cos(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $sin(\alpha) > 0$, поэтому $sin(\alpha) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь вычислим $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{2}}{9}$.