Номер 664, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

664¹. Упростите выражение:

a) $ \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha; $

б) $ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha; $

в) $ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha}; $

г) $ \frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}; $

д) $ \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}; $

е) $ \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}. $

¹Здесь и далее имеются в виду такие значения $\alpha$, при которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а) Для упрощения выражения $\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha$.
Теперь снова применим формулу синуса двойного угла, но на этот раз для угла $2\alpha$. Формула для синуса угла $4\alpha$ выглядит так: $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$. Отсюда получаем, что $\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2} \sin 4\alpha$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:
$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \sin 4\alpha\right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$.
Ответ: $\frac{1}{4} \sin 4\alpha$.

б) Выражение $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha$ можно рассматривать как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \cos^2 \alpha$ и $b = \sin^2 \alpha$.
$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.
Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:
1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
2. Формула косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Подставив эти формулы в наше выражение, получаем:
$(\cos 2\alpha) \cdot 1 = \cos 2\alpha$.
Ответ: $\cos 2\alpha$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{1 + \sin 2\alpha}$.
Сначала раскроем квадрат суммы в числителе по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) и формулу синуса двойного угла ($\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$), мы можем упростить числитель до $1 + \sin 2\alpha$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{1 + \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = 1$.
(Это верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $1 + \sin 2\alpha \neq 0$).
Ответ: $1$.

г) В выражении $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$ заменим числитель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Получим дробь: $\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha}$.
Заметим, что множитель в числителе $(\cos \alpha - \sin \alpha)$ и выражение в знаменателе $(\sin \alpha - \cos \alpha)$ отличаются только знаком: $\sin \alpha - \cos \alpha = -(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
Перепишем дробь: $\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{-(\cos \alpha - \sin \alpha)}$.
Сократим дробь на $(\cos \alpha - \sin \alpha)$:
$-(\cos \alpha + \sin \alpha)$.
Ответ: $-(\sin \alpha + \cos \alpha)$.

д) Для упрощения выражения $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha}$ приведем дроби к общему знаменателю, которым является $\sin \alpha \cos \alpha$:
$\frac{\sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Числитель этой дроби соответствует формуле синуса разности углов: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В нашем случае $x=2\alpha$ и $y=\alpha$.
Таким образом, числитель упрощается до $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin \alpha$.
Подставим это значение обратно в дробь:
$\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Сократив дробь на $\sin \alpha$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$), получим:
$\frac{1}{\cos \alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$.

е) Выражение $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$ является одной из формул для косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
Следовательно, данное выражение равно $\cos 2\alpha$.
Этот результат можно также получить, выразив тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}$.
Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, знаменатель дроби в знаменателе равен $\frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Получаем: $\frac{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{1} = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
Это является формулой косинуса двойного угла.
Ответ: $\cos 2\alpha$.