Номер 670, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

670. При каких значениях $\alpha$ верно равенство:

a) $tg(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$;

б) $tg(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$?

а) $tg(45° + α) = \frac{1 + tgα}{1 - tgα}$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $tg(x + y) = \frac{tgx + tgy}{1 - tgx \cdot tgy}$.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $x = 45°$ и $y = α$: $tg(45° + α) = \frac{tg(45°) + tgα}{1 - tg(45°) \cdot tgα}$.

Поскольку значение тангенса $45°$ равно единице ($tg(45°) = 1$), подставим это значение в формулу: $tg(45° + α) = \frac{1 + tgα}{1 - 1 \cdot tgα} = \frac{1 + tgα}{1 - tgα}$.

Мы видим, что левая часть тождественно равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством и будет верным для всех значений $α$, при которых обе части выражения определены.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение $tg(45° + α)$ определено, когда $cos(45° + α) \neq 0$. Это выполняется при $45° + α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда следует, что $α \neq 45° + 180°k$.
2. Выражение в правой части $\frac{1 + tgα}{1 - tgα}$ определено, когда:
- существует $tgα$, то есть $cosα \neq 0$, что означает $α \neq 90° + 180°n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- знаменатель не равен нулю: $1 - tgα \neq 0$, то есть $tgα \neq 1$. Это означает, что $α \neq 45° + 180°m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все условия, получаем, что равенство верно при всех $α$, удовлетворяющих условиям: $α \neq 45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: равенство верно при всех значениях $α$, для которых $α \neq 45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $tg(45° - α) = \frac{1 - tgα}{1 + tgα}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $tg(x - y) = \frac{tgx - tgy}{1 + tgx \cdot tgy}$.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $x = 45°$ и $y = α$: $tg(45° - α) = \frac{tg(45°) - tgα}{1 + tg(45°) \cdot tgα}$.

Так как $tg(45°) = 1$, подставим это значение в выражение: $tg(45° - α) = \frac{1 - tgα}{1 + 1 \cdot tgα} = \frac{1 - tgα}{1 + tgα}$.

Левая часть тождественно равна правой. Таким образом, данное равенство является тождеством и верно для всех значений $α$, при которых обе части выражения имеют смысл.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение $tg(45° - α)$ определено, когда $cos(45° - α) \neq 0$. Это выполняется при $45° - α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда следует, что $-α \neq 45° + 180°k$, или $α \neq -45° - 180°k$, что эквивалентно $α \neq -45° + 180°j$ для любого целого $j$.
2. Выражение в правой части $\frac{1 - tgα}{1 + tgα}$ определено, когда:
- существует $tgα$, то есть $cosα \neq 0$, что означает $α \neq 90° + 180°n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- знаменатель не равен нулю: $1 + tgα \neq 0$, то есть $tgα \neq -1$. Это означает, что $α \neq -45° + 180°m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все условия, получаем, что равенство верно при всех $α$, удовлетворяющих условиям: $α \neq -45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: равенство верно при всех значениях $α$, для которых $α \neq -45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$.