Номер 677, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

677. Упростите выражение:

a) $\sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - \tan(2\pi - \alpha) + \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

б) $\sin(90^\circ - \alpha) - \cos(180^\circ - \alpha) + \tan(180^\circ - \alpha) - \cot(270^\circ + \alpha).$

Для упрощения выражения $sin(\pi - \alpha) + cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - tg(2\pi - \alpha) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Разберем каждый член выражения по отдельности.

1. $sin(\pi - \alpha)$: Аргумент $(\pi - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где синус положителен. Поскольку в формуле приведения используется $\pi$, название функции не изменяется. Таким образом, $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

2. $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Аргумент $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$.

3. $tg(2\pi - \alpha)$: Аргумент $(2\pi - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $2\pi$, название функции не изменяется. Таким образом, $tg(2\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$.

4. $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Аргумент $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ соответствует углу в третьей координатной четверти, где котангенс положителен. Поскольку в формуле приведения используется $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (котангенс на тангенс). Таким образом, $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$sin(\alpha) + (-sin(\alpha)) - (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = sin(\alpha) - sin(\alpha) + tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2tg(\alpha)$.

Ответ: $2tg(\alpha)$

Для упрощения выражения $sin(90^\circ - \alpha) - cos(180^\circ - \alpha) + tg(180^\circ - \alpha) - ctg(270^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Разберем каждый член выражения по отдельности.

1. $sin(90^\circ - \alpha)$: Аргумент $(90^\circ - \alpha)$ соответствует углу в первой координатной четверти, где синус положителен. Поскольку в формуле приведения используется $90^\circ$, название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.

2. $cos(180^\circ - \alpha)$: Аргумент $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $180^\circ$, название функции не изменяется. Таким образом, $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$.

3. $tg(180^\circ - \alpha)$: Аргумент $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $180^\circ$, название функции не изменяется. Таким образом, $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

4. $ctg(270^\circ + \alpha)$: Аргумент $(270^\circ + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $270^\circ$, название функции меняется на кофункцию (котангенс на тангенс). Таким образом, $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$cos(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-tg(\alpha)) - (-tg(\alpha)) = cos(\alpha) + cos(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2cos(\alpha)$.

Ответ: $2cos(\alpha)$