Номер 671, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

671. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{1}{1-\mathrm{tg} \alpha} - \frac{1}{1+\mathrm{tg} \alpha} = \mathrm{tg} 2\alpha; $

б) $ \sin 2\alpha - \mathrm{tg} \alpha = \cos 2\alpha \mathrm{tg} \alpha. $

а) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha)$:

$\frac{1}{1 - \text{tg}\alpha} - \frac{1}{1 + \text{tg}\alpha} = \frac{(1 + \text{tg}\alpha) - (1 - \text{tg}\alpha)}{(1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, а в числителе раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1 + \text{tg}\alpha - 1 + \text{tg}\alpha}{1^2 - \text{tg}^2\alpha} = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$

Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла:

$\frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = \text{tg}2\alpha$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Выразим тангенс через синус и косинус ($\text{tg}\alpha = \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$) и применим формулу синуса двойного угла ($\text{sin}2\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha$):

$\text{sin}2\alpha - \text{tg}\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\text{cos}\alpha$:

$\frac{2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha \cdot \text{cos}\alpha - \text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} = \frac{2\text{sin}\alpha\text{cos}^2\alpha - \text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\text{sin}\alpha$:

$\frac{\text{sin}\alpha(2\text{cos}^2\alpha - 1)}{\text{cos}\alpha}$

Выражение в скобках $2\text{cos}^2\alpha - 1$ является формулой косинуса двойного угла $\text{cos}2\alpha$. Заменим его:

$\frac{\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}2\alpha}{\text{cos}\alpha}$

Перегруппируем множители, чтобы выделить отношение $\frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$:

$\text{cos}2\alpha \cdot \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} = \text{cos}2\alpha \cdot \text{tg}\alpha$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.