Страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

665. a) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha-\operatorname{tg} \alpha}{\cos 2 \alpha}$;

б) $\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha+1}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha-1}$;

в) $\operatorname{tg} \alpha(1+\cos 2 \alpha)$;

г) $(1-\cos 2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha$;

д) $2 \cos ^{2} \alpha-\cos 2 \alpha$;

е) $\cos 2 \alpha+2 \sin ^{2} \alpha$.

а)

Упростим выражение $ \frac{\ctg\alpha - \tg\alpha}{\cos2\alpha} $.

Сначала преобразуем числитель. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Тогда числитель равен:

$ \ctg\alpha - \tg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используем формулу двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

Подставляем эту формулу в числитель дроби в числителе:

$ \ctg\alpha - \tg\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\cos2\alpha} = \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot \frac{1}{\cos2\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, можем переписать знаменатель:

$ \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2}{\sin2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{2}{\sin2\alpha} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{\ctg^2\alpha + 1}{\ctg^2\alpha - 1} $.

Используем основное тригонометрическое тождество, связанное с котангенсом: $ 1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Таким образом, числитель дроби равен $ \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

Преобразуем знаменатель, выразив котангенс через синус и косинус:

$ \ctg^2\alpha - 1 = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} $.

Зная, что $ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha $, получаем:

$ \ctg^2\alpha - 1 = \frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\frac{1}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{1}{\cos2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos2\alpha} $.

в)

Упростим выражение $ \tg\alpha(1 + \cos2\alpha) $.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Отсюда $ 1 + \cos2\alpha = 1 + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \tg\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) $.

Теперь выразим тангенс через синус и косинус: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot 2\cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha $.

Ответ: $ \sin2\alpha $.

г)

Упростим выражение $ (1 - \cos2\alpha)\ctg\alpha $.

Воспользуемся другой формулой двойного угла для косинуса: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Отсюда $ 1 - \cos2\alpha = 1 - (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha $.

Подставим это в исходное выражение:

$ (2\sin^2\alpha) \cdot \ctg\alpha $.

Теперь выразим котангенс через синус и косинус: $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

$ 2\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Это формула синуса двойного угла: $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha $.

Ответ: $ \sin2\alpha $.

д)

Упростим выражение $ 2\cos^2\alpha - \cos2\alpha $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим ее в выражение:

$ 2\cos^2\alpha - (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha + 1 = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

е)

Упростим выражение $ \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha $.

Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.

Подставим ее в выражение:

$ (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

Доказываем. Докажите справедливость равенства (666–667):

666. а) $2 \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin \alpha = \sin 2\alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = -\cos 2\alpha;$

в) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + \sin 2\alpha;$

г) $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha;$

а)

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.

$2 \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \sin \alpha = 2 \cos \alpha \sin \alpha$

Далее, по формуле синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, мы видим, что полученное выражение равно $\sin 2\alpha$.

$2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Преобразуем левую часть равенства, представив её как разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим выражение:

$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(1) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$

Вынесем знак минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

$-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 + \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

г)

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$, получаем:

$1 - \sin 2\alpha$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

667. a) $ \operatorname{tg} (\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $;

б) $ \operatorname{tg} (\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} $;

в) $ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $.

а)

Для доказательства формулы тангенса суммы воспользуемся определением тангенса: $tg(\alpha + \beta) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos(\alpha + \beta)}$.

Применим формулы синуса и косинуса суммы двух углов:

$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$

Подставим эти выражения в формулу для тангенса:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta}$

Для того чтобы перейти к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $cos\alpha \cdot cos\beta$, предполагая, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$ (т.е. тангенсы $\alpha$ и $\beta$ существуют), а также $cos(\alpha + \beta) \neq 0$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{sin\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} + \frac{cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}{\frac{cos\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} - \frac{sin\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}$

Упростим полученное выражение, используя определение $tg x = \frac{sin x}{cos x}$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin\beta}{cos\beta}}{1 - \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta}} = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

б)

Для доказательства формулы тангенса разности воспользуемся определением тангенса: $tg(\alpha - \beta) = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos(\alpha - \beta)}$.

Применим формулы синуса и косинуса разности двух углов:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$

Подставим эти выражения в формулу для тангенса:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta}$

Разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $cos\alpha \cdot cos\beta$, предполагая, что $cos\alpha \neq 0$ и $cos\beta \neq 0$, а также $cos(\alpha - \beta) \neq 0$:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} - \frac{cos\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}{\frac{cos\alpha \cdot cos\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta} + \frac{sin\alpha \cdot sin\beta}{cos\alpha \cdot cos\beta}}$

Упростим полученное выражение:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} - \frac{sin\beta}{cos\beta}}{1 + \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{sin\beta}{cos\beta}} = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

в)

Формулу тангенса двойного угла можно вывести из формулы тангенса суммы, доказанной в пункте а).

Исходная формула тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$.

Представим двойной угол $2\alpha$ как сумму $\alpha + \alpha$. Тогда $tg(2\alpha) = tg(\alpha + \alpha)$.

Подставим в формулу тангенса суммы $\beta = \alpha$:

$tg(\alpha + \alpha) = \frac{tg\alpha + tg\alpha}{1 - tg\alpha \cdot tg\alpha}$

Упрощая выражение, получаем:

$tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

668. Найдите $tg(\alpha + \beta)$ и $tg(\alpha - \beta)$, если $tg \alpha = \frac{3}{5}$, $tg \beta = \frac{2}{5}$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы тангенса суммы и разности двух углов. Из условия задачи нам известны следующие значения: $\text{tg}\alpha = \frac{3}{5}$ и $\text{tg}\beta = \frac{2}{5}$.

tg(α + β)

Формула для тангенса суммы двух углов α и β имеет вид:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим в эту формулу заданные значения $\text{tg}\alpha$ и $\text{tg}\beta$:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}}$

Далее выполним вычисления по шагам. Сначала упростим числитель дроби:
$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
Теперь упростим знаменатель дроби:
$1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = 1 - \frac{6}{25} = \frac{25}{25} - \frac{6}{25} = \frac{19}{25}$.

Теперь, когда мы нашли значения числителя и знаменателя, мы можем найти итоговое значение тангенса суммы:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\frac{19}{25}} = 1 \cdot \frac{25}{19} = \frac{25}{19}$.

Ответ: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{25}{19}$.

tg(α - β)

Формула для тангенса разности двух углов α и β имеет вид:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим в эту формулу заданные значения $\text{tg}\alpha$ и $\text{tg}\beta$:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}}{1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}}$

Снова выполним вычисления по шагам. Упростим числитель:
$\frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5}$.
Теперь упростим знаменатель:
$1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = 1 + \frac{6}{25} = \frac{25}{25} + \frac{6}{25} = \frac{31}{25}$.

Наконец, разделим полученный числитель на знаменатель:
$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{31}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{31} = \frac{25}{5 \cdot 31} = \frac{5}{31}$.

Ответ: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{5}{31}$.

669. Вычислите:

а) $\frac{\operatorname{tg} 39^{\circ}+\operatorname{tg} 6^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 39^{\circ} \operatorname{tg} 6^{\circ}} ; $

б) $\frac{\operatorname{tg} 72^{\circ}-\operatorname{tg} 12^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 72^{\circ} \operatorname{tg} 12^{\circ}} ; $

в) $\operatorname{tg} 75^{\circ} ; $

г) $\operatorname{tg} 15^{\circ} ; $

д) $\operatorname{tg} 105^{\circ} . $

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В нашем случае $\alpha = 39^\circ$ и $\beta = 6^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{\text{tg}39^\circ + \text{tg}6^\circ}{1 - \text{tg}39^\circ \text{tg}6^\circ} = \text{tg}(39^\circ + 6^\circ) = \text{tg}45^\circ$.
Значение тангенса $45^\circ$ равно 1.
Ответ: $1$.

б) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.
В данном случае $\alpha = 72^\circ$ и $\beta = 12^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\frac{\text{tg}72^\circ - \text{tg}12^\circ}{1 + \text{tg}72^\circ \text{tg}12^\circ} = \text{tg}(72^\circ - 12^\circ) = \text{tg}60^\circ$.
Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Чтобы вычислить $\text{tg}75^\circ$, представим $75^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\text{tg}75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ + \text{tg}30^\circ}{1 - \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ}$.
Мы знаем, что $\text{tg}45^\circ = 1$ и $\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем эти значения в формулу:
$\text{tg}75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + \sqrt{3})$:
$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

г) Чтобы вычислить $\text{tg}15^\circ$, представим $15^\circ$ в виде разности двух стандартных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Применим формулу тангенса разности: $\text{tg}15^\circ = \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{tg}45^\circ - \text{tg}30^\circ}{1 + \text{tg}45^\circ \text{tg}30^\circ}$.
Используя значения $\text{tg}45^\circ = 1$ и $\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$\text{tg}15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

д) Чтобы вычислить $\text{tg}105^\circ$, представим $105^\circ$ в виде суммы двух стандартных углов: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Применим формулу тангенса суммы: $\text{tg}105^\circ = \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg}60^\circ + \text{tg}45^\circ}{1 - \text{tg}60^\circ \text{tg}45^\circ}$.
Мы знаем, что $\text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ и $\text{tg}45^\circ = 1$.
Подставляем эти значения:
$\text{tg}105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$:
$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
Также можно использовать формулу приведения: $\text{tg}105^\circ = \text{tg}(180^\circ - 75^\circ) = -\text{tg}75^\circ$. Из пункта в) мы знаем, что $\text{tg}75^\circ = 2 + \sqrt{3}$, следовательно $\text{tg}105^\circ = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$.

670. При каких значениях $\alpha$ верно равенство:

a) $tg(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$;

б) $tg(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$?

а) $tg(45° + α) = \frac{1 + tgα}{1 - tgα}$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $tg(x + y) = \frac{tgx + tgy}{1 - tgx \cdot tgy}$.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $x = 45°$ и $y = α$: $tg(45° + α) = \frac{tg(45°) + tgα}{1 - tg(45°) \cdot tgα}$.

Поскольку значение тангенса $45°$ равно единице ($tg(45°) = 1$), подставим это значение в формулу: $tg(45° + α) = \frac{1 + tgα}{1 - 1 \cdot tgα} = \frac{1 + tgα}{1 - tgα}$.

Мы видим, что левая часть тождественно равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством и будет верным для всех значений $α$, при которых обе части выражения определены.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение $tg(45° + α)$ определено, когда $cos(45° + α) \neq 0$. Это выполняется при $45° + α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда следует, что $α \neq 45° + 180°k$.
2. Выражение в правой части $\frac{1 + tgα}{1 - tgα}$ определено, когда:
- существует $tgα$, то есть $cosα \neq 0$, что означает $α \neq 90° + 180°n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- знаменатель не равен нулю: $1 - tgα \neq 0$, то есть $tgα \neq 1$. Это означает, что $α \neq 45° + 180°m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все условия, получаем, что равенство верно при всех $α$, удовлетворяющих условиям: $α \neq 45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: равенство верно при всех значениях $α$, для которых $α \neq 45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $tg(45° - α) = \frac{1 - tgα}{1 + tgα}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $tg(x - y) = \frac{tgx - tgy}{1 + tgx \cdot tgy}$.

Преобразуем левую часть равенства, приняв $x = 45°$ и $y = α$: $tg(45° - α) = \frac{tg(45°) - tgα}{1 + tg(45°) \cdot tgα}$.

Так как $tg(45°) = 1$, подставим это значение в выражение: $tg(45° - α) = \frac{1 - tgα}{1 + 1 \cdot tgα} = \frac{1 - tgα}{1 + tgα}$.

Левая часть тождественно равна правой. Таким образом, данное равенство является тождеством и верно для всех значений $α$, при которых обе части выражения имеют смысл.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Выражение $tg(45° - α)$ определено, когда $cos(45° - α) \neq 0$. Это выполняется при $45° - α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда следует, что $-α \neq 45° + 180°k$, или $α \neq -45° - 180°k$, что эквивалентно $α \neq -45° + 180°j$ для любого целого $j$.
2. Выражение в правой части $\frac{1 - tgα}{1 + tgα}$ определено, когда:
- существует $tgα$, то есть $cosα \neq 0$, что означает $α \neq 90° + 180°n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- знаменатель не равен нулю: $1 + tgα \neq 0$, то есть $tgα \neq -1$. Это означает, что $α \neq -45° + 180°m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все условия, получаем, что равенство верно при всех $α$, удовлетворяющих условиям: $α \neq -45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: равенство верно при всех значениях $α$, для которых $α \neq -45° + 180°k$ и $α \neq 90° + 180°k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

671. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

a) $ \frac{1}{1-\mathrm{tg} \alpha} - \frac{1}{1+\mathrm{tg} \alpha} = \mathrm{tg} 2\alpha; $

б) $ \sin 2\alpha - \mathrm{tg} \alpha = \cos 2\alpha \mathrm{tg} \alpha. $

а) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha)$:

$\frac{1}{1 - \text{tg}\alpha} - \frac{1}{1 + \text{tg}\alpha} = \frac{(1 + \text{tg}\alpha) - (1 - \text{tg}\alpha)}{(1 - \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\alpha)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, а в числителе раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\frac{1 + \text{tg}\alpha - 1 + \text{tg}\alpha}{1^2 - \text{tg}^2\alpha} = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$

Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла:

$\frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} = \text{tg}2\alpha$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Выразим тангенс через синус и косинус ($\text{tg}\alpha = \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$) и применим формулу синуса двойного угла ($\text{sin}2\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha$):

$\text{sin}2\alpha - \text{tg}\alpha = 2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha - \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\text{cos}\alpha$:

$\frac{2\text{sin}\alpha\text{cos}\alpha \cdot \text{cos}\alpha - \text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} = \frac{2\text{sin}\alpha\text{cos}^2\alpha - \text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $\text{sin}\alpha$:

$\frac{\text{sin}\alpha(2\text{cos}^2\alpha - 1)}{\text{cos}\alpha}$

Выражение в скобках $2\text{cos}^2\alpha - 1$ является формулой косинуса двойного угла $\text{cos}2\alpha$. Заменим его:

$\frac{\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}2\alpha}{\text{cos}\alpha}$

Перегруппируем множители, чтобы выделить отношение $\frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha}$:

$\text{cos}2\alpha \cdot \frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} = \text{cos}2\alpha \cdot \text{tg}\alpha$

В результате преобразований мы получили правую часть исходного равенства. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

672. Запишите следующие углы в виде $ \frac{\alpha}{2} $, где угол $\alpha$ равен:

$30^\circ$; $180^\circ$; $\pi$; $2\pi$.

30°

Согласно условию, необходимо найти значение выражения $\frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = 30°$. Для этого подставим заданное значение $\alpha$ в выражение и выполним вычисление:

$\frac{\alpha}{2} = \frac{30°}{2} = 15°$

Ответ: $15°$

180°

Аналогично, для $\alpha = 180°$ найдем значение выражения $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\alpha}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$

Ответ: $90°$

π

Теперь рассмотрим угол, заданный в радианах. Для $\alpha = \pi$ найдем значение выражения $\frac{\alpha}{2}$:

$\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2π

Для $\alpha = 2\pi$ найдем значение выражения $\frac{\alpha}{2}$. Подставим значение и выполним сокращение:

$\frac{\alpha}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

Ответ: $\pi$

673. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$;

б) $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$;

в) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}$;

г) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

д) $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

е) $\frac{1}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{1}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

ж) $\frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

з) $\frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2}} = \cos \alpha$.

а) Для доказательства используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $. Сделаем замену $ x = \frac{\alpha}{2} $, тогда $ 2x = \alpha $. Подставив в формулу, получаем: $ \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $. Перенеся -1 в левую часть, мы получаем искомое равенство: $ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

б) Для доказательства используем другую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $. Сделаем замену $ x = \frac{\alpha}{2} $, тогда $ 2x = \alpha $. Подставив в формулу, получаем: $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $. Перенеся $ -2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $ влево, а $ \cos \alpha $ вправо, получаем искомое равенство: $ 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

в) Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.$ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha}{2\sin \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha} $.Вынесем $ 2\sin \alpha $ за скобки в числителе и знаменателе:$ \frac{2\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.Используя равенства, доказанные в пунктах а) и б), заменим выражения в числителе и знаменателе:$ \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} $.Левая часть равна правой, равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

г) Преобразуем левую часть равенства. Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $ и формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $, $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $:$ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $.В числителе получили полный квадрат суммы, а в знаменателе — разность квадратов:$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $.Разделим числитель и знаменатель на $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):$ \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} $.Зная, что $ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $, можем переписать выражение:$ \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) + \tan \alpha}{1 - \tan(\frac{\pi}{4})\tan \alpha} $.Это формула тангенса суммы, то есть $ \tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

д) Примечание: В исходном условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. Равенство $ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan \alpha $ не является тождеством. Ниже приведено доказательство для наиболее вероятного исправленного условия.
Докажем равенство $ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}} = \tan \alpha $.Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}(1 - \tan \frac{\alpha}{2}) + \tan \frac{\alpha}{2}(1 + \tan \frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan \frac{\alpha}{2})(1 - \tan \frac{\alpha}{2})} $.Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:$ \frac{\tan \frac{\alpha}{2} - \tan^2 \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\alpha}{2} + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $.Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла для угла $ \frac{\alpha}{2} $, то есть оно равно $ \tan(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \tan \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо при исправлении опечатки в условии.

е) Преобразуем левую часть равенства. Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}} - \frac{1}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{(1 + \tan \frac{\alpha}{2}) - (1 - \tan \frac{\alpha}{2})}{(1 - \tan \frac{\alpha}{2})(1 + \tan \frac{\alpha}{2})} $.Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:$ \frac{1 + \tan \frac{\alpha}{2} - 1 + \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $.Это формула тангенса двойного угла, которая равна $ \tan \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

ж) Левая часть равенства $ \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $ является формулой тангенса двойного угла. Если взять $ x = \frac{\alpha}{2} $, то выражение примет вид $ \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} $, что по определению равно $ \tan(2x) $. Подставив обратно $ x = \frac{\alpha}{2} $, получаем $ \tan(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \tan \alpha $. Равенство является известным тождеством.
Ответ: Равенство справедливо.

з) Преобразуем левую часть равенства. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:$ \frac{\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} $.Приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основного выражения:$ \frac{\frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}} $.Сократим общий знаменатель $ \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) $:$ \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)} $.В числителе стоит формула косинуса двойного угла $ \cos \alpha $, а в знаменателе — основное тригонометрическое тождество, равное 1.Таким образом, левая часть равна $ \frac{\cos \alpha}{1} = \cos \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.