Номер 673, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

673. Доказываем. Докажите справедливость равенства:

а) $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$;

б) $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$;

в) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}$;

г) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

д) $\frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

е) $\frac{1}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{1}{1 + \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

ж) $\frac{2 \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \alpha$;

з) $\frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2} + \text{tg} \frac{\alpha}{2}} = \cos \alpha$.

а) Для доказательства используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $. Сделаем замену $ x = \frac{\alpha}{2} $, тогда $ 2x = \alpha $. Подставив в формулу, получаем: $ \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $. Перенеся -1 в левую часть, мы получаем искомое равенство: $ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

б) Для доказательства используем другую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $. Сделаем замену $ x = \frac{\alpha}{2} $, тогда $ 2x = \alpha $. Подставив в формулу, получаем: $ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $. Перенеся $ -2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $ влево, а $ \cos \alpha $ вправо, получаем искомое равенство: $ 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

в) Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.$ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha}{2\sin \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha} $.Вынесем $ 2\sin \alpha $ за скобки в числителе и знаменателе:$ \frac{2\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.Используя равенства, доказанные в пунктах а) и б), заменим выражения в числителе и знаменателе:$ \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} $.Левая часть равна правой, равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

г) Преобразуем левую часть равенства. Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha $ и формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $, $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $:$ \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $.В числителе получили полный квадрат суммы, а в знаменателе — разность квадратов:$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $.Разделим числитель и знаменатель на $ \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $):$ \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha} $.Зная, что $ \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $, можем переписать выражение:$ \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) + \tan \alpha}{1 - \tan(\frac{\pi}{4})\tan \alpha} $.Это формула тангенса суммы, то есть $ \tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

д) Примечание: В исходном условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. Равенство $ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \tan \alpha $ не является тождеством. Ниже приведено доказательство для наиболее вероятного исправленного условия.
Докажем равенство $ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}} = \tan \alpha $.Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$ \frac{\tan \frac{\alpha}{2}(1 - \tan \frac{\alpha}{2}) + \tan \frac{\alpha}{2}(1 + \tan \frac{\alpha}{2})}{(1 + \tan \frac{\alpha}{2})(1 - \tan \frac{\alpha}{2})} $.Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:$ \frac{\tan \frac{\alpha}{2} - \tan^2 \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\alpha}{2} + \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $.Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла для угла $ \frac{\alpha}{2} $, то есть оно равно $ \tan(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \tan \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо при исправлении опечатки в условии.

е) Преобразуем левую часть равенства. Приведем дроби к общему знаменателю:$ \frac{1}{1 - \tan \frac{\alpha}{2}} - \frac{1}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{(1 + \tan \frac{\alpha}{2}) - (1 - \tan \frac{\alpha}{2})}{(1 - \tan \frac{\alpha}{2})(1 + \tan \frac{\alpha}{2})} $.Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе:$ \frac{1 + \tan \frac{\alpha}{2} - 1 + \tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $.Это формула тангенса двойного угла, которая равна $ \tan \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.

ж) Левая часть равенства $ \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}} $ является формулой тангенса двойного угла. Если взять $ x = \frac{\alpha}{2} $, то выражение примет вид $ \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} $, что по определению равно $ \tan(2x) $. Подставив обратно $ x = \frac{\alpha}{2} $, получаем $ \tan(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \tan \alpha $. Равенство является известным тождеством.
Ответ: Равенство справедливо.

з) Преобразуем левую часть равенства. Выразим котангенс и тангенс через синус и косинус:$ \frac{\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}}{\cot \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} $.Приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основного выражения:$ \frac{\frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}} $.Сократим общий знаменатель $ \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) $:$ \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)} $.В числителе стоит формула косинуса двойного угла $ \cos \alpha $, а в знаменателе — основное тригонометрическое тождество, равное 1.Таким образом, левая часть равна $ \frac{\cos \alpha}{1} = \cos \alpha $. Равенство доказано.
Ответ: Равенство справедливо.