Номер 676, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

676. Вычислите:

a) $ \text{tg } 135^{\circ} $

б) $ \text{ctg } 120^{\circ} $

в) $ \text{tg } 210^{\circ} $

г) $ \text{ctg } 330^{\circ} $

д) $ 12 \sin 120^{\circ} \text{ tg } 300^{\circ} \text{ ctg } 225^{\circ} $

е) $ 20 \sin 330^{\circ} \cos (-240^{\circ}) \text{ tg } 120^{\circ} - 2 \cos 150^{\circ} \text{ tg } (-135^{\circ}) $

ж) $ \cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \dots + \cos 160^{\circ} + \cos 180^{\circ} $

з) $ \text{tg } 20^{\circ} + \text{tg } 40^{\circ} + \text{tg } 60^{\circ} + \dots + \text{tg } 160^{\circ} + \text{tg } 180^{\circ} $

а) Для вычисления $\text{tg } 135^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg } 135^\circ = \text{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{tg}(45^\circ) = -1$.
Ответ: -1

б) Для вычисления $\text{ctg } 120^\circ$ используем формулу приведения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
$\text{ctg } 120^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для вычисления $\text{tg } 210^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg } 210^\circ = \text{tg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{tg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) Для вычисления $\text{ctg } 330^\circ$ используем формулу приведения $\text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
$\text{ctg } 330^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg}(30^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

д) Вычислим значение выражения $12 \sin 120^\circ \text{ tg } 300^\circ \text{ ctg } 225^\circ$.
Сначала найдем значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{tg } 300^\circ = \text{tg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{tg } 60^\circ = -\sqrt{3}$.
$\text{ctg } 225^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 45^\circ) = \text{ctg } 45^\circ = 1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot 1 = 6\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -6 \cdot 3 = -18$.
Ответ: -18

е) Вычислим значение выражения $20 \sin 330^\circ \cos(-240^\circ) \text{ tg } 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \text{ tg}(-135^\circ)$.
Найдем значения тригонометрических функций:
$\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.
$\cos(-240^\circ) = \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ (косинус - четная функция).
$\text{tg } 120^\circ = \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{tg } 60^\circ = -\sqrt{3}$.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{tg}(-135^\circ) = -\text{tg}(135^\circ) = -(\text{tg}(180^\circ-45^\circ)) = -(-\text{tg } 45^\circ) = 1$ (тангенс - нечетная функция).
Подставим значения в выражение:
$20 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = 20 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) = 5(-\sqrt{3}) + \sqrt{3} = -5\sqrt{3} + \sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.
Ответ: $-4\sqrt{3}$

ж) Рассмотрим сумму $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$.
Углы слагаемых образуют арифметическую прогрессию с шагом $20^\circ$. Всего в сумме 9 слагаемых: $\cos 20^\circ, \cos 40^\circ, \cos 60^\circ, \cos 80^\circ, \cos 100^\circ, \cos 120^\circ, \cos 140^\circ, \cos 160^\circ, \cos 180^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ и сгруппируем слагаемые:
$S = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ) + (\cos 60^\circ + \cos 120^\circ) + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) + \cos 180^\circ$.
Каждая пара в скобках дает в сумме 0:
$\cos 20^\circ + \cos(180^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$.
$\cos 40^\circ + \cos(180^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$.
$\cos 60^\circ + \cos(180^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ - \cos 60^\circ = 0$.
$\cos 80^\circ + \cos(180^\circ - 80^\circ) = \cos 80^\circ - \cos 80^\circ = 0$.
Следовательно, сумма равна последнему оставшемуся слагаемому: $S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos 180^\circ = -1$.
Ответ: -1

з) Рассмотрим сумму $\text{tg } 20^\circ + \text{tg } 40^\circ + \text{tg } 60^\circ + ... + \text{tg } 160^\circ + \text{tg } 180^\circ$.
Углы слагаемых, как и в предыдущем задании, образуют арифметическую прогрессию. Используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ и сгруппируем слагаемые:
$S = (\text{tg } 20^\circ + \text{tg } 160^\circ) + (\text{tg } 40^\circ + \text{tg } 140^\circ) + (\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 120^\circ) + (\text{tg } 80^\circ + \text{tg } 100^\circ) + \text{tg } 180^\circ$.
Каждая пара в скобках дает в сумме 0:
$\text{tg } 20^\circ + \text{tg}(180^\circ - 20^\circ) = \text{tg } 20^\circ - \text{tg } 20^\circ = 0$.
$\text{tg } 40^\circ + \text{tg}(180^\circ - 40^\circ) = \text{tg } 40^\circ - \text{tg } 40^\circ = 0$.
$\text{tg } 60^\circ + \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = \text{tg } 60^\circ - \text{tg } 60^\circ = 0$.
$\text{tg } 80^\circ + \text{tg}(180^\circ - 80^\circ) = \text{tg } 80^\circ - \text{tg } 80^\circ = 0$.
Последний член суммы $\text{tg } 180^\circ$ также равен 0.
Таким образом, вся сумма равна $S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0