Страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

674. a) Вычислите $ \sin \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

б) Вычислите $ \cos \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = - \frac{1}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

а)

Для вычисления $sin\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой понижения степени (или формулой половинного угла):

$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}$

Отсюда следует, что $sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - cos\alpha}{2}}$. Знак перед корнем зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Чтобы найти, в каком интервале находится угол $\frac{\alpha}{2}$, разделим все части неравенства на 2:

$\frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi/2}{2}$, что дает $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Этот интервал соответствует первой координатной четверти, в которой значения синуса положительны. Следовательно, мы выбираем знак «+».

Теперь подставим в формулу известное значение $cos\alpha = \frac{1}{3}$:

$sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3-1}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б)

Для вычисления $cos\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулой половинного угла для косинуса:

$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}$

В этой задаче нам дан $sin\alpha$, а для формулы требуется $cos\alpha$. Найдем $cos\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

Подставим значение $sin\alpha = -\frac{1}{3}$:

$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Отсюда $cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение, поэтому $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Теперь определим знак для $cos\frac{\alpha}{2}$. Для этого найдем интервал для угла $\frac{\alpha}{2}$, разделив неравенство $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ на 2:

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$

Этот интервал соответствует второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Значит, в формуле для $cos\frac{\alpha}{2}$ мы выберем знак «-»:

$cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}}$

Подставим найденное значение $cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$:

$cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{2\sqrt{2}}{3})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}}{2}} = -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$

Ответ: $-\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}}$

675. Упростите выражение:

а) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha;$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha;$

в) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha};$

г) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}.$

а) $2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha$

Для упрощения данного выражения воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Если принять $x = \frac{\alpha}{2}$, то $2x = \alpha$. Тогда формула примет вид: $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$.

Из этой формулы можно выразить $2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$, что является первым слагаемым в исходном выражении: $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1 - \cos \alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(1 - \cos \alpha) + \cos \alpha = 1 - \cos \alpha + \cos \alpha = 1$.

Ответ: $1$

б) $2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos \alpha$

Для этого выражения используем другую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

Снова пусть $x = \frac{\alpha}{2}$, тогда $2x = \alpha$. Формула запишется как: $\cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.

Из этой формулы выразим $2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$: $2\cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 + \cos \alpha$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(1 + \cos \alpha) - \cos \alpha = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha = 1$.

Ответ: $1$

в) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Для упрощения этого выражения применим несколько тригонометрических тождеств. Сначала упростим первую дробь, используя формулы двойного угла:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$

Подставим их в первую дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\tan \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

Далее, применим формулы двойного угла для аргумента $\frac{\alpha}{2}$ (их также называют формулами половинного угла):

$\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в полученную дробь:

$\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \tan \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\tan \frac{\alpha}{2}$

г) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{2 \sin \alpha + \sin 2\alpha}$

В числителе и знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

$\frac{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}$

Вынесем общий множитель $2 \sin \alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2 \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}$

Сократим дробь на $2 \sin \alpha$ (при условии, что $2 \sin \alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Теперь воспользуемся формулами, связывающими косинус целого угла с синусом и косинусом половинного угла (формулы понижения степени):

$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$

$1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \left(\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\tan^2 \frac{\alpha}{2}$

676. Вычислите:

a) $ \text{tg } 135^{\circ} $

б) $ \text{ctg } 120^{\circ} $

в) $ \text{tg } 210^{\circ} $

г) $ \text{ctg } 330^{\circ} $

д) $ 12 \sin 120^{\circ} \text{ tg } 300^{\circ} \text{ ctg } 225^{\circ} $

е) $ 20 \sin 330^{\circ} \cos (-240^{\circ}) \text{ tg } 120^{\circ} - 2 \cos 150^{\circ} \text{ tg } (-135^{\circ}) $

ж) $ \cos 20^{\circ} + \cos 40^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \dots + \cos 160^{\circ} + \cos 180^{\circ} $

з) $ \text{tg } 20^{\circ} + \text{tg } 40^{\circ} + \text{tg } 60^{\circ} + \dots + \text{tg } 160^{\circ} + \text{tg } 180^{\circ} $

а) Для вычисления $\text{tg } 135^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg } 135^\circ = \text{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{tg}(45^\circ) = -1$.
Ответ: -1

б) Для вычисления $\text{ctg } 120^\circ$ используем формулу приведения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
$\text{ctg } 120^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для вычисления $\text{tg } 210^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.
$\text{tg } 210^\circ = \text{tg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{tg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) Для вычисления $\text{ctg } 330^\circ$ используем формулу приведения $\text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
$\text{ctg } 330^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg}(30^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

д) Вычислим значение выражения $12 \sin 120^\circ \text{ tg } 300^\circ \text{ ctg } 225^\circ$.
Сначала найдем значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{tg } 300^\circ = \text{tg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{tg } 60^\circ = -\sqrt{3}$.
$\text{ctg } 225^\circ = \text{ctg}(180^\circ + 45^\circ) = \text{ctg } 45^\circ = 1$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) \cdot 1 = 6\sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -6 \cdot 3 = -18$.
Ответ: -18

е) Вычислим значение выражения $20 \sin 330^\circ \cos(-240^\circ) \text{ tg } 120^\circ - 2 \cos 150^\circ \text{ tg}(-135^\circ)$.
Найдем значения тригонометрических функций:
$\sin 330^\circ = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$.
$\cos(-240^\circ) = \cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ (косинус - четная функция).
$\text{tg } 120^\circ = \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{tg } 60^\circ = -\sqrt{3}$.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{tg}(-135^\circ) = -\text{tg}(135^\circ) = -(\text{tg}(180^\circ-45^\circ)) = -(-\text{tg } 45^\circ) = 1$ (тангенс - нечетная функция).
Подставим значения в выражение:
$20 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = 20 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) = 5(-\sqrt{3}) + \sqrt{3} = -5\sqrt{3} + \sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.
Ответ: $-4\sqrt{3}$

ж) Рассмотрим сумму $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$.
Углы слагаемых образуют арифметическую прогрессию с шагом $20^\circ$. Всего в сумме 9 слагаемых: $\cos 20^\circ, \cos 40^\circ, \cos 60^\circ, \cos 80^\circ, \cos 100^\circ, \cos 120^\circ, \cos 140^\circ, \cos 160^\circ, \cos 180^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ и сгруппируем слагаемые:
$S = (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) + (\cos 40^\circ + \cos 140^\circ) + (\cos 60^\circ + \cos 120^\circ) + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) + \cos 180^\circ$.
Каждая пара в скобках дает в сумме 0:
$\cos 20^\circ + \cos(180^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ = 0$.
$\cos 40^\circ + \cos(180^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ - \cos 40^\circ = 0$.
$\cos 60^\circ + \cos(180^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ - \cos 60^\circ = 0$.
$\cos 80^\circ + \cos(180^\circ - 80^\circ) = \cos 80^\circ - \cos 80^\circ = 0$.
Следовательно, сумма равна последнему оставшемуся слагаемому: $S = 0 + 0 + 0 + 0 + \cos 180^\circ = -1$.
Ответ: -1

з) Рассмотрим сумму $\text{tg } 20^\circ + \text{tg } 40^\circ + \text{tg } 60^\circ + ... + \text{tg } 160^\circ + \text{tg } 180^\circ$.
Углы слагаемых, как и в предыдущем задании, образуют арифметическую прогрессию. Используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ и сгруппируем слагаемые:
$S = (\text{tg } 20^\circ + \text{tg } 160^\circ) + (\text{tg } 40^\circ + \text{tg } 140^\circ) + (\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 120^\circ) + (\text{tg } 80^\circ + \text{tg } 100^\circ) + \text{tg } 180^\circ$.
Каждая пара в скобках дает в сумме 0:
$\text{tg } 20^\circ + \text{tg}(180^\circ - 20^\circ) = \text{tg } 20^\circ - \text{tg } 20^\circ = 0$.
$\text{tg } 40^\circ + \text{tg}(180^\circ - 40^\circ) = \text{tg } 40^\circ - \text{tg } 40^\circ = 0$.
$\text{tg } 60^\circ + \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = \text{tg } 60^\circ - \text{tg } 60^\circ = 0$.
$\text{tg } 80^\circ + \text{tg}(180^\circ - 80^\circ) = \text{tg } 80^\circ - \text{tg } 80^\circ = 0$.
Последний член суммы $\text{tg } 180^\circ$ также равен 0.
Таким образом, вся сумма равна $S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

677. Упростите выражение:

a) $\sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) - \tan(2\pi - \alpha) + \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right);$

б) $\sin(90^\circ - \alpha) - \cos(180^\circ - \alpha) + \tan(180^\circ - \alpha) - \cot(270^\circ + \alpha).$

Для упрощения выражения $sin(\pi - \alpha) + cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - tg(2\pi - \alpha) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Разберем каждый член выражения по отдельности.

1. $sin(\pi - \alpha)$: Аргумент $(\pi - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где синус положителен. Поскольку в формуле приведения используется $\pi$, название функции не изменяется. Таким образом, $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

2. $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Аргумент $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$.

3. $tg(2\pi - \alpha)$: Аргумент $(2\pi - \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $2\pi$, название функции не изменяется. Таким образом, $tg(2\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$.

4. $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Аргумент $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ соответствует углу в третьей координатной четверти, где котангенс положителен. Поскольку в формуле приведения используется $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (котангенс на тангенс). Таким образом, $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$sin(\alpha) + (-sin(\alpha)) - (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = sin(\alpha) - sin(\alpha) + tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2tg(\alpha)$.

Ответ: $2tg(\alpha)$

Для упрощения выражения $sin(90^\circ - \alpha) - cos(180^\circ - \alpha) + tg(180^\circ - \alpha) - ctg(270^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения. Разберем каждый член выражения по отдельности.

1. $sin(90^\circ - \alpha)$: Аргумент $(90^\circ - \alpha)$ соответствует углу в первой координатной четверти, где синус положителен. Поскольку в формуле приведения используется $90^\circ$, название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.

2. $cos(180^\circ - \alpha)$: Аргумент $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $180^\circ$, название функции не изменяется. Таким образом, $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$.

3. $tg(180^\circ - \alpha)$: Аргумент $(180^\circ - \alpha)$ соответствует углу во второй координатной четверти, где тангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $180^\circ$, название функции не изменяется. Таким образом, $tg(180^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

4. $ctg(270^\circ + \alpha)$: Аргумент $(270^\circ + \alpha)$ соответствует углу в четвертой координатной четверти, где котангенс отрицателен. Поскольку в формуле приведения используется $270^\circ$, название функции меняется на кофункцию (котангенс на тангенс). Таким образом, $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$cos(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-tg(\alpha)) - (-tg(\alpha)) = cos(\alpha) + cos(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2cos(\alpha)$.

Ответ: $2cos(\alpha)$

Доказываем. Докажите справедливость равенства (678—679):

678. a) $\frac{\operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha)} = -\sin \alpha;$

б) $\frac{\cos^2 \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)}{\operatorname{tg}^2(\alpha - 2\pi)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\operatorname{tg}^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)} = 1.$

а)

Требуется доказать тождество: $ \frac{\text{tg}(90^\circ + \alpha) \cos(270^\circ + \alpha) \cos(-\alpha)}{\text{ctg}(180^\circ - \alpha) \sin(270^\circ + \alpha)} = -\sin \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

1. Упростим каждый тригонометрический член в выражении:

• $ \text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол находится во II четверти, где тангенс отрицателен; так как опорный угол $90^\circ$, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол находится в IV четверти, где косинус положителен; так как опорный угол $270^\circ$, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $ (косинус является четной функцией).
• $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $ (угол находится во II четверти, где котангенс отрицателен; так как опорный угол $180^\circ$, функция не меняется).
• $ \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол находится в IV четверти, где синус отрицателен; так как опорный угол $270^\circ$, функция меняется на кофункцию).

2. Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (\sin(\alpha)) \cdot (\cos(\alpha))}{(-\text{ctg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))} $

3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($-\text{ctg}(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$):

$ \frac{\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{-1} = -\sin(\alpha) $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна $ -\sin(\alpha) $, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Требуется доказать тождество: $ \frac{\cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 2\pi)} + \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} = 1 $.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждое слагаемое по отдельности.

1. Рассмотрим первое слагаемое $ \frac{\cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - 2\pi)} $:

• Числитель: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) $. Следовательно, $ \cos^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin^2(\alpha) $.
• Знаменатель: тангенс имеет период $ \pi $, поэтому $ \text{tg}(\alpha - 2\pi) = \text{tg}(\alpha) $. Следовательно, $ \text{tg}^2(\alpha - 2\pi) = \text{tg}^2(\alpha) $.
• Подставив $ \text{tg}^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $, получим для первого слагаемого: $ \frac{\sin^2(\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha)}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \sin^2(\alpha) \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha) $.

2. Рассмотрим второе слагаемое $ \frac{\cos^2(-\alpha)}{\text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2})} $:

• Числитель: косинус — четная функция, поэтому $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Следовательно, $ \cos^2(-\alpha) = \cos^2(\alpha) $.
• Знаменатель: $ \text{tg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения $ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $. Значит, $ \text{tg}(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = -\text{ctg}(\alpha) $. Тогда $ \text{tg}^2(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = (-\text{ctg}(\alpha))^2 = \text{ctg}^2(\alpha) $.
• Подставив $ \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} $, получим для второго слагаемого: $ \frac{\cos^2(\alpha)}{\text{ctg}^2(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}} = \cos^2(\alpha) \cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \sin^2(\alpha) $.

3. Сложим полученные результаты:

Левая часть = (первое слагаемое) + (второе слагаемое) = $ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Таким образом, левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: тождество доказано.

679. a) $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha};$

б) $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha};$

в) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2 (\alpha - \beta);$

г) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2 (\alpha - \beta);$

д) $\cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha;$

е) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

ж) $1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha;$

з) $1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha;$

и) $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha;$

к) $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha.$

а) Докажем тождество $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $. Для этого преобразуем правую часть равенства, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, где $ \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:
$ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $
$ \cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} $
Подставим эти выражения в правую часть:
$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - (1 - 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2})}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} $
Сократив дробь на $ 2 \sin \frac{\alpha}{2} $, получаем:
$ \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} $
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \text{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} $. Преобразуем правую часть, используя формулы двойного угла для синуса и косинуса, где $ \alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} $:
$ \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $
$ \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $
Подставим эти выражения в правую часть:
$ \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{1 + (2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1)} = \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} $
Сократив дробь на $ 2 \cos \frac{\alpha}{2} $, получаем:
$ \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \text{tg} \frac{\alpha}{2} $
Таким образом, правая часть равна левой.
Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $ \sin 2\alpha(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2(\alpha - \beta) $.
Раскроем скобки в левой части:
$ \sin^2 2\alpha + \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha + \cos 2\alpha \cos 2\beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $, получаем:
$ 1 + \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 + \cos(2(\alpha - \beta)) $
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $:
$ 1 + (2\cos^2(\alpha - \beta) - 1) = 2\cos^2(\alpha - \beta) $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

г) Докажем тождество $ \sin 2\alpha(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha(\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2(\alpha - \beta) $.
Раскроем скобки в левой части:
$ \sin^2 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha - \cos 2\alpha \cos 2\beta $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) - (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$ 1 - \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 - \cos(2(\alpha - \beta)) $
Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha - \beta)) = 2\sin^2(\alpha - \beta) $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

д) Докажем тождество $ \cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $.
Вынесем общий множитель $ \sin \alpha \cos \alpha $ в левой части:
$ \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $
Используем формулы двойного угла:
$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $
$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha $
Подставим их в выражение:
$ \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha $
Снова применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $, где $ x = 2\alpha $:
$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2\alpha) \right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

е) Докажем тождество $ 2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha $.
Преобразуем первое слагаемое в левой части, используя формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов $ 2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $:
$ 2 \sin 2\alpha \sin \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos \alpha - \cos 3\alpha $
Подставим результат в левую часть исходного равенства:
$ (\cos \alpha - \cos 3\alpha) + \cos 3\alpha = \cos \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

ж) Докажем тождество $ 1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (1 + \cos 4\alpha) + 2 \cos 2\alpha $.
Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = 2\alpha $:
$ 1 + \cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha $
Левая часть принимает вид:
$ 2 \cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \cos 2\alpha $:
$ 2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1) $
Снова применим формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = \alpha $:
$ 2 \cos 2\alpha (2 \cos^2 \alpha) = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

з) Докажем тождество $ 1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $.
Сгруппируем слагаемые в левой части: $ (1 + \cos 6\alpha) + 2 \cos 3\alpha $.
Используем формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = 3\alpha $:
$ 1 + \cos 6\alpha = 2 \cos^2 3\alpha $
Левая часть принимает вид:
$ 2 \cos^2 3\alpha + 2 \cos 3\alpha $
Вынесем общий множитель $ 2 \cos 3\alpha $:
$ 2 \cos 3\alpha (\cos 3\alpha + 1) $
Снова применим формулу $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $, где $ x = \frac{3\alpha}{2} $:
$ 2 \cos 3\alpha \left( 2 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \right) = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

и) Докажем формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $.
Представим $ 3\alpha $ как $ 2\alpha + \alpha $ и используем формулу синуса суммы:
$ \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha $
Применим формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и $ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha $:
$ (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha + (1 - 2 \sin^2 \alpha) \sin \alpha $
$ = 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
Заменим $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества:
$ 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
$ = 2 \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha + \sin \alpha - 2 \sin^3 \alpha $
$ = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

к) Докажем формулу косинуса тройного угла $ \cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $.
Представим $ 3\alpha $ как $ 2\alpha + \alpha $ и используем формулу косинуса суммы:
$ \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha $
Применим формулы двойного угла $ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 $ и $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $:
$ (2 \cos^2 \alpha - 1) \cos \alpha - (2 \sin \alpha \cos \alpha) \sin \alpha $
$ = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha $
Заменим $ \sin^2 \alpha $ на $ 1 - \cos^2 \alpha $:
$ 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 (1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha $
$ = 2 \cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2 \cos \alpha + 2 \cos^3 \alpha $
$ = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha $
Левая часть равна правой.
Ответ: Тождество доказано.