Страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

680. Вычислите:

a) $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9}$;

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $P = \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}$, домножим и разделим его на $2\sin\frac{\pi}{9}$. Это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$. Затем будем последовательно применять формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$P = \cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9} = \frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$
Применив формулу к $2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} = \sin\frac{2\pi}{9}$, получим:
$P = \frac{\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$
Повторим операцию, умножив числитель и знаменатель на 2:
$P = \frac{2\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}$
И еще раз:
$P = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}$
Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$.
Подставляем это значение обратно в выражение для $P$:
$P = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Для вычисления значения выражения $Q = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}$ поступим аналогичным образом. Домножим и разделим его на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$) и будем последовательно применять формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7} = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$
Применяя формулу трижды, как в предыдущем пункте, получим:
$Q = \frac{\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}}$.
Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$.
Подставляем это значение обратно в выражение для $Q$:
$Q = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{8}$.

681. Найдите:

a) $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}2\alpha$ и $\operatorname{ctg}2\alpha$, если $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = 3$;

б) $\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$, $\operatorname{tg}2\alpha$ и $\operatorname{ctg}2\alpha$, если $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{7}$;

в) $\sin4\alpha$, если $\operatorname{tg}\alpha = 3$.

а)

Дано, что $ \tg \frac{\alpha}{2} = 3 $.
Для нахождения $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $ воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают синус и косинус угла через тангенс половинного угла: $ \sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $ и $ \cos \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}} $.

Подставим известное значение $ \tg \frac{\alpha}{2} = 3 $ в эти формулы:
$ \sin \alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
$ \cos \alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем $ \tg \alpha $, зная $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $:
$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $.

Для нахождения $ \tg 2\alpha $ используем формулу тангенса двойного угла: $ \tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $.
$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -3 \cdot \frac{8}{7} = -\frac{24}{7} $.

$ \ctg 2\alpha $ является обратной величиной к $ \tg 2\alpha $:
$ \ctg 2\alpha = \frac{1}{\tg 2\alpha} = \frac{1}{-\frac{24}{7}} = -\frac{7}{24} $.

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $, $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $, $ \tg 2\alpha = -\frac{24}{7} $, $ \ctg 2\alpha = -\frac{7}{24} $.

б)

Дано, что $ \tg \alpha = \frac{1}{7} $.
Для решения задачи воспользуемся формулами, выражающими тригонометрические функции двойного угла через тангенс исходного угла.

Найдем $ \tg 2\alpha $ по формуле тангенса двойного угла:
$ \tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{7}}{1 - (\frac{1}{7})^2} = \frac{\frac{2}{7}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{48}{49}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{49}{48} = \frac{2 \cdot 7}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24} $.

$ \ctg 2\alpha $ - обратная величина:
$ \ctg 2\alpha = \frac{1}{\tg 2\alpha} = \frac{1}{\frac{7}{24}} = \frac{24}{7} $.

Теперь найдем $ \sin 2\alpha $ и $ \cos 2\alpha $, используя $ \tg \alpha $:
$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{7}}{1 + (\frac{1}{7})^2} = \frac{\frac{2}{7}}{1 + \frac{1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{50}{49}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{49}{50} = \frac{2 \cdot 7}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} $.
$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} = \frac{1 - (\frac{1}{7})^2}{1 + (\frac{1}{7})^2} = \frac{1 - \frac{1}{49}}{1 + \frac{1}{49}} = \frac{\frac{48}{49}}{\frac{50}{49}} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25} $.

Ответ: $ \sin 2\alpha = \frac{7}{25} $, $ \cos 2\alpha = \frac{24}{25} $, $ \tg 2\alpha = \frac{7}{24} $, $ \ctg 2\alpha = \frac{24}{7} $.

в)

Дано, что $ \tg \alpha = 3 $. Необходимо найти $ \sin 4\alpha $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла для аргумента $ 2\alpha $: $ \sin 4\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha $.
Для этого сначала найдем $ \sin 2\alpha $ и $ \cos 2\alpha $, используя известные формулы выражения через $ \tg \alpha $.

$ \sin 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
$ \cos 2\alpha = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} $.

Теперь подставим найденные значения в формулу для $ \sin 4\alpha $:
$ \sin 4\alpha = 2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{25} = -\frac{24}{25} $.

Ответ: $ \sin 4\alpha = -\frac{24}{25} $.