Страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

693. a) Можно ли считать приближение числа $a$ с точностью до 0,01 приближением числа $a$ с точностью до 0,1?

б) Можно ли приближение числа $a$ с точностью до 0,01 считать приближением числа $a$ с точностью до 0,001?

а) Да, можно. Давайте разберемся, что такое "приближение с точностью до h". Если число $x$ является приближением числа $a$ с точностью до $h$, это означает, что модуль разности между $a$ и $x$ (то есть абсолютная погрешность) не превышает $h$. Математически это записывается в виде неравенства: $|a - x| \le h$

В нашем случае дано, что мы имеем приближение с точностью до 0,01. Это означает, что выполняется неравенство: $|a - x| \le 0,01$

Вопрос заключается в том, является ли это приближение также приближением с точностью до 0,1. То есть, выполняется ли неравенство: $|a - x| \le 0,1$

Поскольку $0,01 < 0,1$, любое число, которое меньше или равно 0,01, автоматически будет меньше или равно 0,1. Таким образом, если выполняется неравенство $|a - x| \le 0,01$, то неравенство $|a - x| \le 0,1$ выполняется тем более. Это означает, что более точное приближение (с меньшей погрешностью) всегда можно считать и менее точным приближением (с большей допустимой погрешностью).

Ответ: да, можно.

б) Нет, нельзя. Как и в предыдущем пункте, используем определение приближения. Нам дано приближение числа $a$ с точностью до 0,01, то есть: $|a - x| \le 0,01$

Нас спрашивают, можно ли на основании этого утверждать, что это же приближение имеет точность до 0,001, то есть что выполняется неравенство: $|a - x| \le 0,001$

Здесь ситуация обратная. Мы знаем, что $0,01 > 0,001$. Информация о том, что погрешность не превышает 0,01, не гарантирует, что она не превышает 0,001. Погрешность может оказаться в интервале от 0,001 до 0,01.

Приведем контрпример. Пусть точное значение числа $a = 5,009$, а его приближенное значение $x = 5,000$. Найдем абсолютную погрешность: $|a - x| = |5,009 - 5,000| = 0,009$

Поскольку $0,009 \le 0,01$, число $x=5,000$ является приближением числа $a=5,009$ с точностью до 0,01. Однако, $0,009 > 0,001$, поэтому $x=5,000$ не является приближением числа $a=5,009$ с точностью до 0,001. Следовательно, в общем случае так считать нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

694. Укажите на координатной оси все приближения числа 2,185

с точностью до:

а) 1;

б) 0,1;

в) 0,01.

Найти приближения числа с определённой точностью — это значит найти два числа, кратных этой точности, между которыми заключено исходное число. Одно из этих чисел является приближением с недостатком (меньшее число), а другое — приближением с избытком (большее число). На координатной оси исходное число будет находиться в интервале между этими двумя приближениями.

а) Найдём приближения числа 2,185 с точностью до 1. Это значит, что нам нужно найти два последовательных целых числа (числа, кратные 1), между которыми находится число 2,185.
Этими числами являются 2 и 3.
Запишем в виде двойного неравенства: $2 < 2,185 < 3$.
Таким образом, 2 — это приближение с недостатком, а 3 — это приближение с избытком. На координатной оси число 2,185 расположено между точками 2 и 3.



Ответ: 2 и 3.

б) Найдём приближения числа 2,185 с точностью до 0,1. Нам нужно найти два последовательных числа, кратных 0,1, между которыми находится число 2,185.
Этими числами являются 2,1 и 2,2.
Запишем в виде двойного неравенства: $2,1 < 2,185 < 2,2$.
Следовательно, 2,1 — это приближение с недостатком, а 2,2 — это приближение с избытком. На координатной оси число 2,185 расположено между точками 2,1 и 2,2.



Ответ: 2,1 и 2,2.

в) Найдём приближения числа 2,185 с точностью до 0,01. Нам нужно найти два последовательных числа, кратных 0,01, между которыми находится число 2,185.
Этими числами являются 2,18 и 2,19.
Запишем в виде двойного неравенства: $2,18 < 2,185 < 2,19$.
Таким образом, 2,18 — это приближение с недостатком, а 2,19 — это приближение с избытком. На координатной оси число 2,185 расположено ровно посередине между точками 2,18 и 2,19.



Ответ: 2,18 и 2,19.

695. Какое приближение числа $ \pi \approx 3,1415 $ лучше: 3,14 или 3,15?

Чтобы определить, какое из приближений лучше, необходимо найти, какое из чисел (3,14 или 3,15) находится ближе к значению $\pi \approx 3,1415$. Для этого мы вычислим абсолютную разность (модуль разности) между значением $\pi$ и каждым из приближений.

1. Вычислим разность для приближения 3,14:

$|3,1415 - 3,14| = |3,1415 - 3,1400| = 0,0015$

2. Вычислим разность для приближения 3,15:

$|3,1415 - 3,15| = |3,1415 - 3,1500| = 0,0085$

3. Сравним полученные разности:

$0,0015 < 0,0085$

Поскольку разность между $\pi$ и 3,14 меньше, чем разность между $\pi$ и 3,15, то число 3,14 является более точным (лучшим) приближением числа $\pi$.

Ответ: приближение 3,14 лучше.

696. Найдите приближения чисел $1372,05$; $0,000137208$; $-1,3027$; $-17,002$ с округлением с точностью:

а) до одной цифры после запятой;

б) до двух цифр после запятой;

в) до трёх цифр после запятой.

Укажите абсолютную погрешность приближения.

Для решения задачи необходимо округлить каждое из данных чисел до указанной точности, а затем вычислить абсолютную погрешность приближения. Абсолютная погрешность ($ \Delta $) вычисляется как модуль разности между точным значением ($x$) и его приближенным значением ($a$): $ \Delta = |x - a| $.

Для числа 1372,05:
При округлении до десятых смотрим на следующую цифру (5). Так как она равна 5, округляем десятые в большую сторону: $1372,1$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |1372,05 - 1372,1| = |-0,05| = 0,05 $.
Ответ: 1372,1; погрешность 0,05.

Для числа 0,000137208:
При округлении до десятых смотрим на следующую цифру (0). Так как она меньше 5, оставляем десятые без изменений: $0,0$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |0,000137208 - 0,0| = 0,000137208 $.
Ответ: 0,0; погрешность 0,000137208.

Для числа -1,3027:
При округлении до десятых смотрим на следующую цифру (0). Так как она меньше 5, оставляем десятые без изменений: $-1,3$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-1,3027 - (-1,3)| = |-0,0027| = 0,0027 $.
Ответ: -1,3; погрешность 0,0027.

Для числа -17,002:
При округлении до десятых смотрим на следующую цифру (0). Так как она меньше 5, оставляем десятые без изменений: $-17,0$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-17,002 - (-17,0)| = |-0,002| = 0,002 $.
Ответ: -17,0; погрешность 0,002.

Для числа 1372,05:
Число уже представлено с точностью до сотых. Приближенное значение равно точному: $1372,05$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |1372,05 - 1372,05| = 0 $.
Ответ: 1372,05; погрешность 0.

Для числа 0,000137208:
При округлении до сотых смотрим на следующую цифру (0). Так как она меньше 5, оставляем сотые без изменений: $0,00$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |0,000137208 - 0,00| = 0,000137208 $.
Ответ: 0,00; погрешность 0,000137208.

Для числа -1,3027:
При округлении до сотых смотрим на следующую цифру (2). Так как она меньше 5, оставляем сотые без изменений: $-1,30$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-1,3027 - (-1,30)| = |-0,0027| = 0,0027 $.
Ответ: -1,30; погрешность 0,0027.

Для числа -17,002:
При округлении до сотых смотрим на следующую цифру (2). Так как она меньше 5, оставляем сотые без изменений: $-17,00$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-17,002 - (-17,00)| = |-0,002| = 0,002 $.
Ответ: -17,00; погрешность 0,002.

Для числа 1372,05:
Представим число как $1372,050$. Приближенное значение равно точному.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |1372,05 - 1372,050| = 0 $.
Ответ: 1372,050; погрешность 0.

Для числа 0,000137208:
При округлении до тысячных смотрим на следующую цифру (1). Так как она меньше 5, оставляем тысячные без изменений: $0,000$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |0,000137208 - 0,000| = 0,000137208 $.
Ответ: 0,000; погрешность 0,000137208.

Для числа -1,3027:
При округлении до тысячных смотрим на следующую цифру (7). Так как она больше или равна 5, округляем тысячные в большую сторону: $-1,303$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-1,3027 - (-1,303)| = |0,0003| = 0,0003 $.
Ответ: -1,303; погрешность 0,0003.

Для числа -17,002:
Число уже представлено с точностью до тысячных. Приближенное значение равно точному: $-17,002$.
Абсолютная погрешность: $ \Delta = |-17,002 - (-17,002)| = 0 $.
Ответ: -17,002; погрешность 0.