Номер 693, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

693. a) Можно ли считать приближение числа $a$ с точностью до 0,01 приближением числа $a$ с точностью до 0,1?

б) Можно ли приближение числа $a$ с точностью до 0,01 считать приближением числа $a$ с точностью до 0,001?

а) Да, можно. Давайте разберемся, что такое "приближение с точностью до h". Если число $x$ является приближением числа $a$ с точностью до $h$, это означает, что модуль разности между $a$ и $x$ (то есть абсолютная погрешность) не превышает $h$. Математически это записывается в виде неравенства: $|a - x| \le h$

В нашем случае дано, что мы имеем приближение с точностью до 0,01. Это означает, что выполняется неравенство: $|a - x| \le 0,01$

Вопрос заключается в том, является ли это приближение также приближением с точностью до 0,1. То есть, выполняется ли неравенство: $|a - x| \le 0,1$

Поскольку $0,01 < 0,1$, любое число, которое меньше или равно 0,01, автоматически будет меньше или равно 0,1. Таким образом, если выполняется неравенство $|a - x| \le 0,01$, то неравенство $|a - x| \le 0,1$ выполняется тем более. Это означает, что более точное приближение (с меньшей погрешностью) всегда можно считать и менее точным приближением (с большей допустимой погрешностью).

Ответ: да, можно.

б) Нет, нельзя. Как и в предыдущем пункте, используем определение приближения. Нам дано приближение числа $a$ с точностью до 0,01, то есть: $|a - x| \le 0,01$

Нас спрашивают, можно ли на основании этого утверждать, что это же приближение имеет точность до 0,001, то есть что выполняется неравенство: $|a - x| \le 0,001$

Здесь ситуация обратная. Мы знаем, что $0,01 > 0,001$. Информация о том, что погрешность не превышает 0,01, не гарантирует, что она не превышает 0,001. Погрешность может оказаться в интервале от 0,001 до 0,01.

Приведем контрпример. Пусть точное значение числа $a = 5,009$, а его приближенное значение $x = 5,000$. Найдем абсолютную погрешность: $|a - x| = |5,009 - 5,000| = 0,009$

Поскольку $0,009 \le 0,01$, число $x=5,000$ является приближением числа $a=5,009$ с точностью до 0,01. Однако, $0,009 > 0,001$, поэтому $x=5,000$ не является приближением числа $a=5,009$ с точностью до 0,001. Следовательно, в общем случае так считать нельзя.

Ответ: нет, нельзя.