Номер 686, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

686. С какой точностью приближает число $a_1 (a_2)$ число $a$, если $a_1 \le a \le a_2$?

В задаче рассматриваются два случая: когда число $a$ приближается числом $a_1$ и когда оно приближается числом $a_2$.

Приближение числа $a$ числом $a_1$

Точность приближения — это максимальное значение абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность приближения числа $a$ числом $a_1$ равна $|a - a_1|$. Нам нужно найти ее максимальное значение при условии $a_1 \le a \le a_2$.

Исходя из условия $a \ge a_1$, разность $a - a_1$ всегда неотрицательна. Следовательно, мы можем убрать модуль: $|a - a_1| = a - a_1$.

Теперь найдем максимальное значение выражения $a - a_1$. Для этого воспользуемся второй частью неравенства, $a \le a_2$. Вычтем $a_1$ из обеих частей:

$a - a_1 \le a_2 - a_1$

Таким образом, мы имеем двойное неравенство для погрешности:

$0 \le a - a_1 \le a_2 - a_1$

Максимальное значение погрешности достигается, когда $a$ принимает свое наибольшее возможное значение, то есть $a = a_2$. Это максимальное значение равно $a_2 - a_1$.

Ответ: точность приближения составляет $a_2 - a_1$.

Приближение числа $a$ числом $a_2$

Аналогично, найдем точность приближения числа $a$ числом $a_2$. Абсолютная погрешность в этом случае равна $|a - a_2|$.

Из условия $a \le a_2$ следует, что разность $a - a_2$ всегда неположительна. Значит, $|a - a_2| = -(a - a_2) = a_2 - a$.

Найдем максимальное значение выражения $a_2 - a$. Для этого воспользуемся первой частью исходного неравенства, $a_1 \le a$. Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства изменится):

$-a_1 \ge -a$

Теперь прибавим $a_2$ к обеим частям:

$a_2 - a_1 \ge a_2 - a$

Учитывая, что $a_2 - a$ всегда неотрицательна, получаем двойное неравенство для погрешности:

$0 \le a_2 - a \le a_2 - a_1$

Максимальное значение погрешности достигается, когда $a$ принимает свое наименьшее возможное значение, то есть $a = a_1$. Это максимальное значение равно $a_2 - a_1$.

Ответ: точность приближения составляет $a_2 - a_1$.