Номер 684, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

684. Вычислите:

а) $sin \frac{11\pi}{24} sin \frac{5\pi}{24};$

б) $cos \frac{13\pi}{24} cos \frac{7\pi}{24};$

в) $sin \frac{7\pi}{24} cos \frac{\pi}{24};$

г) $cos \frac{7\pi}{20} cos \frac{3\pi}{20} - sin \frac{\pi}{15} sin \frac{4\pi}{15};$

д) $cos \frac{11\pi}{56} cos \frac{3\pi}{56} - sin \frac{11\pi}{42} sin \frac{17\pi}{42}.$

а) Для решения используем формулу преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{24} $.
$ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{11\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{16\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.

б) Для решения используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{13\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.
$ \cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{13\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{24} + \frac{7\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{20\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.

в) Для решения используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $.
В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $.
$ \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{8\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{24}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] $.
Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем значения: $ \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.

г) Преобразуем каждое произведение в выражении отдельно, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Первый член: $ \cos \frac{7\pi}{20} \cos \frac{3\pi}{20} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{7\pi}{20} - \frac{3\pi}{20}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{20} + \frac{3\pi}{20}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{4\pi}{20}\right) + \cos\left(\frac{10\pi}{20}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} + 0 \right) = \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} $.
Второй член: $ \sin \frac{\pi}{15} \sin \frac{4\pi}{15} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{4\pi}{15} - \frac{\pi}{15}\right) - \cos\left(\frac{4\pi}{15} + \frac{\pi}{15}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{3\pi}{15}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{15}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \right) $.
Теперь вычтем второй результат из первого: $ \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2} \cos\frac{\pi}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

д) Преобразуем каждое произведение в выражении отдельно, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Первый член: $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{11\pi}{56} - \frac{3\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{56} + \frac{3\pi}{56}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{8\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{14\pi}{56}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right] $.
Второй член: $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{17\pi}{42} - \frac{11\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{17\pi}{42} + \frac{11\pi}{42}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{6\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{28\pi}{42}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right] $.
Теперь вычтем второй результат из первого: $ \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{7} + \cos\frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \left( \cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3} $.
Подставляем известные значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}-1}{4} $.