Номер 683, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

683. Доказываем. Докажите, что:

a) $\sin \frac{9\pi}{28} \cos \frac{5\pi}{28} - \sin \frac{6\pi}{35} \cos \frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{5};$

б) $\cos \frac{3\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} - \cos \frac{5\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

Чтобы доказать тождество $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $, преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения синуса на косинус: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к первому члену $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} $, где $ \alpha = \frac{9\pi}{28} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{28} $:

$ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{9\pi}{28} + \frac{5\pi}{28}\right) + \sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{5\pi}{28}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{14\pi}{28} + \sin\frac{4\pi}{28}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Поскольку $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $, выражение становится:

$ \frac{1}{2}\left(1 + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Теперь применим ту же формулу ко второму члену $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} $, где $ \alpha = \frac{6\pi}{35} $ и $ \beta = \frac{\pi}{35} $:

$ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{6\pi}{35} + \frac{\pi}{35}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{35} - \frac{\pi}{35}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{7\pi}{35} + \sin\frac{5\pi}{35}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}\right) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{2}\left(1 + \sin\frac{\pi}{7}\right) - \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} $.

После сокращения подобных членов получаем:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Чтобы доказать тождество $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $, преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения косинусов: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к первому члену $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} $, где $ \alpha = \frac{3\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{\pi}{16} $:

$ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{16}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi}{16}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{4\pi}{16} + \cos\frac{2\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{8}\right) $.

Теперь применим ту же формулу ко второму члену $ \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} $, где $ \alpha = \frac{5\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{16} $:

$ \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{8\pi}{16} + \cos\frac{2\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{8}\right) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{8} $.

После сокращения подобных членов получаем:

$ \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} $.

Подставим известные значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.