Номер 685, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

685. а) Что такое приближённое равенство?

б) Что такое погрешность и абсолютная погрешность приближения?

в) Каков знак приближённого равенства?

г) Что называют приближением с недостатком (снизу)?

д) Что называют приближением с избытком (сверху)?

а) Что такое приближённое равенство?
Приближённое равенство — это запись, которая показывает, что одно число или значение является близким, но не строго равным другому. Такое равенство используется, когда точное значение величины неизвестно, его сложно или долго вычислять, или оно является иррациональным числом (например, бесконечной непериодической дробью). Если число a является приближённым значением числа x, то это записывают с помощью знака «≈»: $x \approx a$. Например, число $\pi$ является иррациональным, и его точное значение в виде десятичной дроби записать невозможно. Поэтому на практике используют его приближённые значения, например, $\pi \approx 3,14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$.
Ответ: Приближённое равенство — это нестрогое равенство, которое показывает, что одно значение очень близко к другому, и обозначается знаком ≈.

б) Что такое погрешность и абсолютная погрешность приближения?
Погрешность приближения — это разность между точным значением величины и её приближённым значением. Если x — точное значение, а a — приближённое, то погрешность равна $x - a$. Погрешность может быть как положительной (когда приближение взято с недостатком), так и отрицательной (когда приближение взято с избытком).
Абсолютная погрешность приближения — это модуль (абсолютная величина) разности между точным значением и его приближённым значением. Она показывает, насколько велико отклонение приближённого значения от точного, независимо от направления (больше оно или меньше). Абсолютная погрешность вычисляется по формуле: $|x - a|$. Поскольку абсолютная погрешность всегда неотрицательна, она характеризует величину ошибки. Например, если точное значение $x = \frac{1}{3}$, а приближённое $a = 0,33$, то абсолютная погрешность равна $|\frac{1}{3} - 0,33| = |\frac{1}{3} - \frac{33}{100}| = |\frac{100 - 99}{300}| = \frac{1}{300}$.
Ответ: Погрешность — это разность между точным и приближённым значениями ($x - a$), а абсолютная погрешность — это модуль этой разности ($|x - a|$), показывающий величину ошибки.

в) Каков знак приближённого равенства?
Для обозначения приближённого равенства в математике используется специальный знак «≈». Этот символ состоит из двух волнистых линий, расположенных одна над другой, и читается как «приблизительно равно». Например, запись $\sqrt{2} \approx 1,41$ означает, что квадратный корень из двух приблизительно равен одной целой сорока одной сотой.
Ответ: Знак приближённого равенства — ≈.

г) Что называют приближением с недостатком (снизу)?
Приближением с недостатком (или приближением снизу) называют такое приближённое значение числа, которое меньше этого точного числа. Если a является приближением с недостатком для числа x, то выполняется неравенство $a < x$. Например, при округлении числа $\pi \approx 3,14159...$ до сотых, число 3,14 будет приближением с недостатком, так как $3,14 < \pi$.
Ответ: Приближение с недостатком — это приближённое значение, которое меньше точного значения.

д) Что называют приближением с избытком (сверху)?
Приближением с избытком (или приближением сверху) называют такое приближённое значение числа, которое больше этого точного числа. Если a является приближением с избытком для числа x, то выполняется неравенство $a > x$. Например, при округлении числа $\sqrt{2} \approx 1,41421...$ до тысячных с избытком, мы получим число 1,415. Это будет приближением с избытком, так как $1,415 > \sqrt{2}$.
Ответ: Приближение с избытком — это приближённое значение, которое больше точного значения.