Номер 680, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

680. Вычислите:

a) $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9}$;

б) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $P = \cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}$, домножим и разделим его на $2\sin\frac{\pi}{9}$. Это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$. Затем будем последовательно применять формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$P = \cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9} = \frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$
Применив формулу к $2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} = \sin\frac{2\pi}{9}$, получим:
$P = \frac{\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{2\sin\frac{\pi}{9}}$
Повторим операцию, умножив числитель и знаменатель на 2:
$P = \frac{2\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{4\sin\frac{\pi}{9}}$
И еще раз:
$P = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}}$
Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$.
Подставляем это значение обратно в выражение для $P$:
$P = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{8\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Для вычисления значения выражения $Q = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}$ поступим аналогичным образом. Домножим и разделим его на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$) и будем последовательно применять формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
$Q = \cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7} = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$
Применяя формулу трижды, как в предыдущем пункте, получим:
$Q = \frac{\sin\frac{2\pi}{7} \cos\frac{2\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}}$.
Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$:
$\sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7}$.
Подставляем это значение обратно в выражение для $Q$:
$Q = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{8}$.